高中数学-打印版
赢在高考，智者晋级（圆锥曲线）
设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“?”：x1?x2?(x1?x2)，定义运算“?” ：
2x1?x2?(x1?x2)2；对于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义d(AB)? （Ⅰ）若x?0,求动点P(x,(x?a)?(x?a))的轨迹C; （Ⅱ）已知直线l1:y?y1?y2.
1x?1与（I）中轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，2若(x1?x2)?(y1?y2)?815，试求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中条件下，若直线l2不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且
与（Ⅰ）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求
d(ST)d(SP)?d(ST)d(SQ)的取值范围.
解：（Ⅰ）设y?2(x?a)?(x?a),
22则y?(x?a)?(x?a)?(x?a)?(x?a)?4ax, 又由y?(x?a)?(x?a)?0,
可得P(x,(x?a)?(x?a)的轨迹方程为y?4ax(y?0)，
轨迹C为顶点在原点，焦点为（a，0）的抛物线在x轴上及第一象限的内的部分；
2?y2?4ax? （Ⅱ）由已知可得?,整理得x2?(4?16a)x?4?0, 1?y?x?12?由??(4?16a)?16?16a?8?16a?0,
2221或a?0. 21?a?0,?a?.
2得a??(x1?x2)?(y1?y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2
?(x1?x2)2?(x1?x22) 2?55(x1?x2)2?4x1x2?(4?16a)2?16?815， 22解得a?2或a??1（舍）. 2精心校对
高中数学-打印版
（Ⅲ）?d(AB)?y1?y2?y1?y2， ?STSP?STSQ
?d(ST)d(SP)?d(ST)d(SQ)设直线l2：x=my+c，
依题意m≠0，c≠0，则T（c，0）
分别过P、Q作PP1⊥y轴，QQ1⊥y轴，垂足分别为P1、Q1，则
STSP?STSQ?OTPP1?OTQQ1?c|xP|?c|xQ|.
?y2?8x由?消去y得x2?(2c?8m2)x?c2?0. ?x?my?cSTSP?STSQ?c(11?)?2|c||xP||xQ|11?2|c|?2. 2xPxQc?xP、xQ取不相等的正数，
∴取等的条件不成立，
?
|d(ST)||d(ST)|?的取值范围是(2,??).
|d(SP)||d(SQ)|精心校对
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习赢在高考(圆锥曲线)
