正弦交变电流有效值和最大值关系的简单推证

正弦交变电流有效值和最大值关系的简单推证

我们知道，交变电流的有效值是根据电流的热效应加以规定的．让交变电流和直流电分别通过相同的电阻R，如果它们在相同时间（比方一个周期）内产生的热量相等，就将这一直流电的数值称为这一交变电流的有效值．

正弦交变电流i（t）、正弦交变电压u（t）的有效值I、U与最大值Im、Um之间存在以下关系

设有一个电阻R，通以交变电流i，在很短的一段时间△tj内，流过电阻R的交变电流值ij可以认为是恒定的，因而很短时间△tj内在电阻R

如果一个周期T由N段极短时间间隔△t1、△t2、……△tj、……△tN（N是一个大数）组成，那么在一个周期内．交变电流在电阻R上产生的总热量Q为

而直流电流在同一时间内在电阻R上产生的热量

Q=I2RT

根据有效值的定义，当以上两种热量相等时，这个直流电流I的数值就等于交变电流i的有效值，于是

上式右边常量R提到总和符号之外，就得到交变电流有效值为

（2）式右边是交变电流的平方，在一个周期内取平均后再取平方根．即交变电流的有效值实际等于它的方均根值，即

对于正弦交变电流，有

i=Imsinωt，ij=Imsinωtj

式中ω=2πf是角频率（f是频率）．因而

现在就将求有效值归结为求sin2ωt的平均值，然后开方，即求sinωt的方均根值． 利用三角函数关系

将它们分别在一周期内取平均．由于在一个周期内交流电的波形是对称的，sinωt、sin2ωt、…cosωt、cos2ωt…在一周期内的平均值为零，于是

由（5）、（6）

由（4）、（8）二式，最后得交变电流i的有效值

同理有交变电压u的有效值

所以（1）式得证．