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《通信原理》习题参考答案
第二章
2-1.设随机过程ξ(t)可表示成 ξ(t)＝2cos(2πt+θ)
式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。
解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：
∵ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ
∴E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2) ＝(1/2)×2＋0 ＝1
Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]
＝E[2cosθ×2cosθ] ＝E[4cos2θ]
＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2) ＝(1/2)×4 ＝2
题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。
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2-2. 设Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是一个随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求 (1) E[Z(t)]、E[Z2(t)]
(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z); (3) B(t1,t2)与R(t1,t2)。
解：(1)∵ E[X1]＝E[X2]＝0，且X1和X2彼此独立
∴ E[Z(t)]＝E[X1cosω0t－X2sinω0t] ＝E[X1cosω0t]－E[X2sinω0t] ＝E[X1]×cosω0t－E[X2]×sinω0t ＝0
E[Z2(t)]＝E[(X1cosω0t－X2sinω0t)2]
＝E[X12cos2ω0t－2 X1 X2 cosω0t sinω0t＋X22sin2ω0t]
＝E[X12cos2ω0t]－E[2 X1 X2 cosω0t sinω0t]＋E[X22sin2ω0t] ＝cos2ω0t E[X12]－2 cosω0t sinω0tE[X1]E[X2]＋sin2ω0t E[X22] ＝cos2ω0t E[X12] ＋sin2ω0t E[X22]
又∵ E[X12]＝D[X1]＋E2 [X1]＝D[X1]＝σ2 E[X22]＝D[X2]＋E2 [X2]＝D[X2]＝σ2
∴E[Z2(t)]＝σ2 cos2ω0t＋σ2 sin2ω0t ＝σ2(cos2ω0t＋sin2ω0t) ＝σ2
2 (2)由于Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是由两个正态随机变量X1和X2
(x?a)1叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的 ]f(Z)?exp[?22??2?
其中： E[Z(t)]＝0
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D[Z(t)]＝E[Z2(t)]－E2 [Z(t)]＝E[Z2(t)]＝σ2
2 1f(Z)?exp[?x2]所以得一维分布密度函数f(Z)为：2?? 2
(3) B(t1,t2)＝R(t1,t2)－E [Z(t1)] E [Z(t2)] ＝R(t1,t2)
＝E [Z(t1) Z(t2)]
＝E [(X1cosω0t1－X2sinω0t1)( X1cosω0t2－X2sinω0t2)] ＝E [X12cosω0t1 cosω0t2－X1 X2cosω0t1 sinω0t2
－X1X2sinω0t1cosω0t2＋X22sinω0t1 sinω0t2] ＝cosω0t1 cosω0t2E [X12]－cosω0t1 sinω0t2 E [X1 X2]
－sinω0t1cosω0t2 E [X1 X2]＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22] ＝cosω0t1 cosω0t2E [X12] ＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22] ＝σ2 (cosω0t1 cosω0t2＋sinω0t1 sinω0t2) ＝σ2cosω0(t1－t2)
＝σ2cosω0τ 其中τ＝∣t1－t2∣
,?1???0?1??2-4. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过?(?)?1??,0???1?Rm程，且自相关函数Rm(τ ?)为,其它??0
θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 (1) 证明z(t)是宽平稳的；
(2) 绘出自相关函数Rz(τ)的波形； (3) 求功率谱密度Pz(ω)及功率S。
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通信原理答案第二章
