西南交通大学 2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案
概率论与数理统计B 习题六答案
第七章 置信区间：
1. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布N??,?2?，?未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对?和?作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求?的双侧0.95置信区间和方差?2的双侧0.9置信区间。
解：由于?和?都未知，故?的1??双侧置信区间为
A
?S*S*??n?1?,X?t1???n?1??， ?X?t1??22nn???2的1??双侧置信区间为
??2nS2??nS， ,2??2??n?1?????n?1?2?1?2?代入数据得
22x?65.14,s2?108.41,s*?11.25,t0.975?6??2.45,n?7,?0.95?6??0.05?6??1.635，
?的0.95双侧置信区间观测值为?65.14?2.45??为?54.74,75.54?。
?11.257,65.14?2.45?11.25??，即7??7?108.417?108.41?,?2的0.9双侧置信区间观测值为??，即为?60.3,464.14?。 12.5921.635??2. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的s*?11，设子弹速度服从正态分布
N??,?2?，求这种子弹速度的标准差?和方差?2的双侧0.95置信区间。
?*2*2?????n?1Sn?1S?，代入数据得解：由于?未知，故?的双侧置信区间为?2,2????n?1????n?1??2?1?2?222n?9,S*2?121,?0,?0.975?8??17.535.025?8??2.18，
1
西南交通大学 2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案
?8?1218?121?,，即为?55.204,444.037?。故?的?2的0.95双侧置信区间观测值为???17.5352.18?0.95双侧置信区间观测值为
?55.204,444.037，即为?7.43,21.07?。
?第八章 假设检验：
3. 设检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：
3.98 3.15 3.69
假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在??0.05下检验这批矿砂中的含镍
量的百分比为3.25。（附表：t分布的分位点表：t0.05?6??1.9432，t0.025?6??2.4469，） t0.05?7??1.8946，t0.025?7??2.3646。
解：设X表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则X~N??,?2?。
2.67 3.33 3.69 3.01
H0:??3.25 ?H1:??3.25?
由于总体方差未知，故用检验统计量：
T?当H0成立时，T?X?3.25n
SX?3.25n~t?n?1?， S 由于显著性水平??0.05，n?7，所以t0.025?6??2.4469．因此检验的拒绝域为
? W1???x1,x2,?,x7?:?x?3.25s?n?2.4469?
?由样本观测值，得
x?3.36，s?0.455668007
所以，
x?3.25sn?3.36?3.250.4556680077?0.638694486?2.4469
因此，不拒绝H0，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为3.25。
4. 设从正态总体X~N(?,1)中随机抽出一个容量n?16的样本，由观察值计算得
x?5.2，试求参数?的置信水平为1???0.95的置信区间，并借此判断能否在显著性水
平??0.05下接受假设H0:??5.5。
解：在方差??1已知条件下参数?的置信水平为1???0.95的置信区间为：
22
西南交通大学 2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案
111????? ?x?z?5.2?z?5.2??1.96?/20.025????4.71,5.69? ?????n??16??4?实际上可以看出数值 5.5??4.71,5.69?，落在参数?的置信水平为0.95的置信区间内，所以应接受H0。另一方面，在显著性水平??0.05下假设H0:??5.5的拒绝域为：
W?(??,?1.96]?x??0[1.??9?6,|??x)?1/10x??01/16??? ?1.96又因x?5.2，?0?5.5，n?16，所以也应接受H0。
5.2?5.5?1.2?1.96，落在接受域内，
1/165. 某种电器零件的平均电阻为2.64?，改变工艺后，测得100个零件的平均电阻为
2.62?。设改变工艺后的电阻的方差保持在0.062，问：新工艺对此零件的电阻有无显著性
的影响（??0.01）？
6. 设某次考试的成绩服从正态分布，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均分为66.5分，标准差S?15。问：在显著性水平??0.05下，是否可以认为这次考试的平均成绩为70分？
解：假设这次考生的成绩为X，则X~N?,?2，把从中抽取的容量为n的样本均值记为X，样本标准差为S。本题中是在显著性水平??0.05下检验假设：
?? H0:??70,检验的拒绝域为；t?H1:??70
x?70ss?15,n?t1??2?n?1?，
66.5?701536?1.4?2.0301
由n?36,x?66.5,t0.975?36?1??2.0301算的：t?所以接受H0，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。
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西南交通大学 2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案
B
第七章 置信区间：
1. 设总体X~N(0,?2)，且x1,x2?x10是样本观察值，样本方差s2?2，（1）求?2的
2X2?的置信水平为0.95的置信置信水平为0.95的置信区间；（2）已知Y?X~?2(1)，求D?????3??2??22区间；（?0。 .975(9)?2.70，?0.025(9)?19.023）
?1818???，解：（1）（0.9462，6.6667）； ,2?的置信水平为0.95的置信区间为?2?即为?(9)?(9)0.975?0.025?2?X2（2）D???3??1?X2?122?=???； DD[?(1)]?2??2??2??2?????X2由于D???3??22??22??????2是?的单调减少函数，置信区间为??2,?2?， ???即为（0.3000，2.1137）。
2. 从自动车床加工的一批零件中随机抽取10个，测得其尺寸与规定尺寸的偏差(单位：微米)分别为：
2 1 3 2 4 5 3 4 －2 －2 记零件的尺寸偏差为X，假定X~N(?,?2)，试求未知参数?和?的置信度为0.95的区
222间估计。（t0.05/2(9)?2.2622，?0.025(9)?2.7） (9)?19.023，?0.975解：（1）方差未知时，均值?的置信水平为1???0.95的置信区间为： s? ?t?/2(n?1)? ?x??n? 由本题中数据得：??0.05，n?10，t0.05/2(9)?2.2622，x?2，s?2.4037 故所求置信区间为：
2.40372.4037? ?2??2.2622,6??2.2622????0.2805,3.7195?
?1010?（2）方差?的置信水平为1???0.95的置信区间为：
2??n?1?s2n?1?s2?? ?2,2?
???/2(n?1)?1??/2(n?1)?由本题中数据得：??0.05，n?10，?0.025(9)?19.023，?0.975(9)?2.7，s?5.7778
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222西南交通大学 2017—2018学年第（一）学期《概率论与数理统计B》课程习题答案
9?5.77789?5.7778?故所求置信区间为：?,????2.7335,19.2593?。
2.7?19.023?第八章 假设检验：
3. 设某机床加工的零件长度 ??～??(??,??2)， 今抽查16个零件，测得长度(单位: mm)
为: 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 试求: (1) ??2 的置信度为95% 的置信区间; (2) 在5%的显著性水平下，能否认为该机床加工的零件长度为12.10mm。
解：由数据计算得: , 2 ， ，
222
置信水平 , , 2( ) 2 ( ) , 2( 2 ) ( ) ,
则 ??2 的置信水平为0.95的区间估计为
[
[
( )
( )
, ,
( )
( )
]
] ,
2 2
2
2 2
本问题是方差未知的条件下, ?? 的假设检验，故 a) b) c) d)
?? : ?? , ?? : ??≠ , ??
?? 2 ?? √ ～??( )
?? 的拒绝域为
?? |e)
故
?? √ | ?? 2 ( )
?? |
| ||
√ 所以接受?? , 即认为该机床加工的零件长度为12.10mm。
4. 食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检验机器的工作情况，现抽10罐，测得其重量（单位：克）：
495，510，505，498，503，492，502，512，497，506， 假设重量X服从正态分布N(?,?2)，试求在显著性水平??0.02时，机器工作是否正常？
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概率论及数理统计习题六及答案 - 图文
