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浅谈数学归纳法的应用
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。 一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
证明：解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，显然成立. （2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1
－
时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k1－1），
－－
由于3k1－1是2的倍数，故18（3k1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36.
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
例2、是否存在常数a,b,c，使得等式1?22?2?32??n?(n?1)2?对一切自然数n成立？并证明你的结论．
解：假设存在a,b,c，使得题设的等式成立，则当时n?1,2,3也成立，代入得
n(n?1)(an2?bn?c)121?4?(a?b?c)?6?1? 22?(4a?2b?c)?2??70?9a?3b?c??解得a?3,b?11,c?10，于是对n?1,2,3，下面等式成立：
1?22?2?32??n?(n?1)2?n(n?1)(3n2?11n?10) 12222令Sn?1?2?2?3??n?(n?1)
假设n?k时上式成立，即Sk?2那么Sk?1?Sk?(k?1)(k?2)
k(k?1)(3k2?11k?10) 12打印版
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k(k?1)(3k2?11k?10)?(k?1)(k?2)2 12k(k?1)?(k?2)(3k?5)?(k?1)(k?2)2
12(k?1)(k?2)?(3k2?5k?12k?10)
12(k?1)(k?2)?[3(k?1)2?11(k?1)?10]
12这就是说，等式当n?k?1时也成立． ?综上所述，当a?3,b?11,c?10时，题设的等式对一切自然数n都成立．
三、用数学归纳法证明不等式问题
用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．
例3．已知函数f(x)?x?3(x??1).设数列{an}满足a1?1,an?1?f(an)，数列{bn}x?1*满足bn?|an?3|,Sn?b1?b2???bn(n?N).
(3?1)n23S?. （Ⅰ）用数学归纳法证明bn?； （Ⅱ）证明nn?132证明：解：（Ⅰ）证明：当x?0时,f(x)?1?2?1. 因为a1=1，所以an?1(n?N*).x?1(3?1)n. 下面用数学归纳法证明不等式bn?n?12 （1）当n=1时，b1=3?1，不等式成立，
(3?1)k. （2）假设当n=k时，不等式成立，即bk?2k?1那么 bk?1(3?1)|ak?3|3?1(3?1)k?1?bk?. ?|ak?1?3|?22k1?ak所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。
(3?1)n. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， bn?2n?1(3?1)2(3?1)n???所以 Sn?b1?b2???bn?(3?1)? n?122打印版
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3?1n)122?(3?1)? ?(3?1)??3.
3?13?131?1?221?(故对任意n?N?,Sn?23. 3例4．已知数列｛ｂn｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100． （1）求数列｛ｂn｝的通项公式ｂn； （2）设数列｛an｝的通项an＝lg（1＋
1），记Sn为｛an｝的前n项和，试比较Sn与 bn1lgｂn＋1的大小，并证明你的结论． 2解：（1）容易得ｂn＝2n－1.
（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋＝lg（１＋１）（１＋又
11）＋…＋lg（１＋） 32n?111）·…·（１＋）. 32n?111gbn＋１＝1g2n?1， 2111因此要比较Sn与1gbn＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋）·…·（１＋）
232n?1与2n?1的大小. 取n=1，2，3时可以发现：前者大于后者，由此推测
11）· …· （１＋）＞2n?1. ① 32n?1下面用数学归纳法证明上面猜想： 当n=1时，不等式①成立.
假设n=k时，不等式①成立，即
11（1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞2k?1.
32k?1111那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋）
32k?12k?12(k?1)2k?11＞2k?1（１＋）＝.
2k?12k?12(k?1)2k?121又［］－（2k?3）2＝＞０，
2k?12k?12(k?1)2k?1∴＞2k?3=2(k?1)?1.
2k?1∴当n=k+1时①成立.
综上所述，n∈N*时①成立．
1由函数单调性可判定Sn＞1gbn＋１.
2（1+1）（1+
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