专题1——利用定积分定义求极限 1
专题１—-利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:
① 是n??时的极限 ② 极限运算中含有连加符号
?i?1n
在定积分的定义中,我们把区间[a,b]平均分成n个小区间(定积分的定义中是任意分割区间[a,b]，我
b?a(即定义中的?xi),这n个小区间分别为nb?ab?ab?ab?ab?a[a,a?]，[a?,a?2]，[a?2,a?3],……，
nnnnnb?ab?ab?a[a?(n?2),a?(n?1)],[a?(n?1),b],在定义中每个小区间上任意取的?i我们一
nnnb?ab?a致取为每个小区间的右端点?i?a?i（也可以取左端点?i?a?(i?1)），那么定义中的
nn们当然可以平均分割）,那么每个小区间的长度为
?f(?)?x就变为?iii?1i?1nnnbb?ab?ab?ab?af(a?i))??f(x)dx。,那么lim?f(a?i（取左端
an??nnnni?1点时lim
n???i?1nbb?ab?af(a?(i?1))??f(x)dx）
ann注意：定积分的定义中??0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n??也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下,不能用n??来表示把区间分割成无数个小区间,这里的原因我是理解的,但是不好表述，你清楚结论就行了)，当分割方式为均等分割时,n??就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是limnn???i?1nf(a?ibb?ab?a)??f(x)dx,而不是
annlim???0i?1bb?ab?af(a?i)??f(x)dx.
ann
专题1——利用定积分定义求极限 1
如f(x)在区间[0,1]上的积分可以表示为
?101nif(x)dx?lim?f()——?i取每个小区间的右端
n??nni?1点，或者
?101ni?1f(x)dx?lim?f()--?i取每个小区间的左端点.
n??nni?1i3举例:求lim?4
n??i?1nn分析:函数f(x)?x在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为
31i3xdx?lim?()(这里?i取??0n??nni?113nn1i3i3的是每个小区间的右端点）,即?xdx?lim??()?lim?4.所以
0n??n??ni?1ni?1n13n1i3x4113lim?4??xdx?|0?
0n??n44i?1n
对于这个考点的考法应该不会很深(这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间[0,1]上的定积分，基于此,遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形
nnn1i1i1i?11i?1)?lim?f()，式:lim??f()?lim?f()或者lim??f(只要化为以上的几
n??n??n??n??nnnnnni?1ni?1i?1ni?1n种形式，那么给出的极限就是函数f(x)在区间[0,1]上的积分,即
?10nnn1i1i1i?11i?1f(x)dx?lim??f()?lim?f()?lim??f()?lim?f()
n??n??n??n??nnnnnnnni?1i?1i?1i?1n
专题1——利用定积分定义求极限 1
