第五章三角函数
5.7三角函数的应用
考点1函数式y=Asin(ωx+φ)描述简谐运动时的基本概念问题
1.(2018·重庆第一中学高二期末)已知简谐运动f(x)=2sin(3??+??)(|??|<2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )。 A.T=6,φ=6 B.T=6,φ=3C.T=6π,φ=6 D.T=6π,φ=3 答案:A 解析:T=
2π2π??
12
π2
π2
π6
π
π
π
π
π
π
=π3
=6。∵f(x)的图像过点(0,1),∴sinφ=。∵-<φ<,∴φ=。
1
2π3
2.(2018·安徽滁州高二期末)最大值为2,最小正周期为A.y=2sin(3+6) B.y=2sin(3-6)C.y=2sin(3x-6) 答案:D
解析:由最小正周期为
π
2π3
1
??
π
1
??
π
1
π
,初相为6的函数表达式是( )。
1
π
π
D.y=2sin(3??+6)
,排除A,B;由初相为6,排除C。
π
3.y=-2sin(3??-3)的频率为 ,周期为 ,初相φ= 。 答案:
π 3π
2π3
π
π
2
2
3
322
解析:y=-2sin(3??-3)=2sin[π+(3??-3)]=2sin(3??+3π),故周期为3π,频率为2π,初相为3π。
4.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:
??3?? π ωx+φ 0 2π 222
x ?? 12?? 42 y 0 则振幅是 ,相位是 。
答案:2 3x- 4π
5?? 120 7?? 12-2 3?? 40 解析:由表格得A=2,π-=
4
12
3π2π
??
,∴ω=3。∴ωx+φ=3x+φ。当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-。
12
4
4
πππ
考点2 知模型求参数问题
5.(2019·福建闽侯第六中学高三上期末)如图5-7-1为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )。
图5-7-1
A.ω=
5π12
,A=5 B.ω=
2π15
,A=3C.ω=
5π12
,A=3 D.ω=
15
2π
,A=5
答案:B
解析:∵水轮的半径为3m,水轮圆心O距离水面2m,∴A=3。又水轮每分钟旋转4圈,故转1圈需要15s,∴T=15=
2π??
,∴ω=
2π15
,故选B。
6.(2019·四川泸州高三上期末)某商品一年内每件出厂价在5万元的基础上,按月呈
f(x)=Asin(ωx+φ)+B(??>0,??>0,|??|<2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高
价7万元,7月份达到最低价3万元,根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )。 A.f(x)=2sin(4??+4) +5(1≤??≤12,??∈N?) B.f(x)=7sin(4??-4)+5(1≤x≤12,x∈N)
*π
ππ
ππ
C.f(x)=7sin(4??+4)+5(1≤x≤12,x∈N)
*ππ
D.f(x)=2sin(4??-4)+5(1≤x≤12,x∈N)
*ππ
答案:D
解析:根据题意,得T=2×(7-3)=8,则ω=
π
π
2π??
=
π4
??=2,??+??=7,
。由{得{当x=3
-??+??=3,??=5。
π
*时,2sin(4×3+??)+5=7,得φ=-4,∴f(x)=2sin(4??-4)+5(1≤x≤12,x∈N)。故选D。 7.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表
是某日各时的浪高数据。
π
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+B。 (1)根据上表数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式;
答案:由表中数据知周期T=12,∴ω=
2ππ??
6
=。
由t=0,y=1.5,得A+B=1.5。
由t=3,y=1.0,得B=1.0。∴A=0.5,B=1。 ∴y=2cos6t+1,t∈[0,24]。
(2)依据规定,当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8时至20时之间,有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。 答案:∵y≥1,∴2cos6t+1≥1。∴cos6t≥0。
1
π
π
1
π
∴2kπ-2≤6t≤2kπ+2(k∈Z)。
∴12k-3≤t≤12k+3(k∈Z)。 又∵8≤t≤20,∴k=1,9≤t≤15。
∴冲浪爱好者从9时到15时,有6小时可进行运动。 考点3 建立三角函数模型问题
8.如图5-7-2,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(√2,-√2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( )。
πππ
图5-7-2
图5-7-3
答案:C
解析:∵P0(√2,-√2),∴∠P0Ox=。按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t-,此时P点纵
4
4
π
π
坐标为2sin(??-),∴d=2|sin(??-)|。当t=0时,d=√2,排除A,D项;当t=时,d=0,排除B项,
444故选C。
9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,t∈[0,60]。 答案:0sin60 解析:如图所示,经过t秒钟,秒针转过的角度为∠AOB=30。取AB的中点C,则∠
π??
π??
πππ
AOC=60,d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin60,t∈[0,60]。
π??π??
10.如图5-7-4所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h。
图5-7-4
(1)求h与θ间关系的函数解析式;
答案:过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M。
当2<θ≤π时,∠BOM=θ-2, π
π
h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(??-2);
当0≤θ≤2,π<θ≤2π时,上述解析式也适合。 综上所述,h=5.6+4.8sin(??-2)。
(2)设从OA开始转动,经过ts到达OB,求h与t间关系的函数解析式。
答案:因为点A在☉O上逆时针运动的角速度是rad/s,所以ts转过的弧度数为t,所以
30
30
π
π
π
π
π
h=4.8sin(30??-2)+5.6,t∈[0,+∞)。
考点4 三角函数模型的应用问题
11.(2019·辽宁师范大学附属中学高三上期末)如图5-7-5,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(??+??)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值
6π
ππ
为( )。
图5-7-5
A.5 B.6 C.8 D.10 答案:C
解析:由图像知ymin=2。因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8,故选C。
12.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数
F(t)=50+4sin2(t≥0),则人流量增加的时间段是( )。
A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]
??
答案:C
解析:由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z。
2
2
2
π
??
π
当k=1时,t∈[3π,5π]。因为[10,15]?[3π,5π],故选C。
13.已知某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i=5√2sin(100π??-2),t∈[0,+∞)表示,则这种交流电电流在0.5s内往复运行 次。 答案:25
解析:∵周期T=100π=50(s),∴频率为每秒50次。 ∴0.5s往复运行25次。
14.已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin(??-8π
5π4
2π
1
π
)+20,x∈[4,16]。
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差。
答案:由函数易知,当x=14时,函数取得最大值,此时最高温度为30℃,当x=6时,函数取得最小值,此时最低温度为10℃,所以最大温差为30℃-10℃=20(℃)。
(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间?
答案:令10sin(8??-令10sin(8??-π
5ππ
5π
)+20=15,得sin(8??-4
π
5π
1
π5π
)=-2,因为x∈[4,16],所以x=3。 4
126
)+20=25,得sin(8??-4
34
)=2。 4
因为x∈[4,16],所以x=3。
故该细菌能存活的最长时间为3-3=3(小时)。
考点5 三角函数模型的综合问题
15.如图5-7-6所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=2sin(2??+2),t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是( )。
1
π
34268
图5-7-6
A.2,π 答案:B
解析:当t=0时,θ=2sin2=2,由函数解析式易知单摆周期为2=π,故单摆频率为π。 16.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24。下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
1
π1
2π
1
1
B.2,πC.2,π D.2,π
111
t/时 y/米 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用一课一练(含解析)新人教A版必修第一册
