3.1变化率与导数（教学设计）（1）
3．1．1变化率问题
教学目标：
知识与技能目标：
了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。 过程与方法目标：
通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础。文档收集自网络，仅用于个人学习 情感、态度与价值观目标：
通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。文档收集自网络，仅用于个人学习 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景、新课引入
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：文档收集自网络，仅用于个人学习 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．师生互动、新课讲解 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：文档收集自网络，仅用于个人学习 （1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？
（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？
总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析: r(V)?343?r 33V 4?3V， 4?⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)
r(1)?r(0)?0.62(dm/L)
1?0⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)
r(2)?r(1)?0.16(dm/L) 气球的平均膨胀率为
2?1气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
h r(V2)?r(V1)
V2?V1
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ot
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?文档收集自网络，仅用于个人学习 思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v
h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)；
0.5?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v???8.2(m/s)
2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49在0?t?0.5这段时间里，v?⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)， 4965)?h(0)49?0(s/m)， 所以v?65?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，
49h(可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．文档收集自网络，仅用于个人学习 例1（tb11500601）求下列问题的平均变化率
（1）已知函数f(x)=x+1 ，求x取从1到2时的平均变化率； （2）已知函数f(x)=
1，求x取从1到2时的平均变化率； x1；（3）ln2；（4）sin2-sin1） 2f(x2)?f(x1)表示,
x2?x1（3）已知函数f(x)=lnx，求x取从1到2时的平均变化率； （4）已知函数f(x)=sinx，求x取从1到2时的平均变化率。 （解：（1）1；（2）?（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样
?f??y?f(x2)?f(x1))
f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f?3． 则平均变化率为 ??x2?x1?x?x?x思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率
直线AB的斜率
f(x1) O 2 / 4 △x= x2-x1 x1 x2 x f(x2)?f(x1)?f?表示什么? x2?x1?xy y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1)
例2：已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则
2?y? ． ?x2解：?2??y??(?1??x)?(?1??x)， ?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x2例3：求y?x在x?x0附近的平均变化率。
?y(x0??x)2?x022?解：?y?(x0??x)?x0，所以 ?x?x22x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x
?x2 所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x
三．课堂小结、巩固反思： 1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 四．布置作业 A组： 1、（课本P79习题3.1A组 NO：1）
2、(tb11500701)已知某质点运动规律满足s=t2+3，则在时间(3,3+?t)中相应的平均速度为（A）文档收集自网络，仅用于个人学习 2（A）6+?t (B)3+?t (C) 9+?t （D）6+?t+
1 ?t?y为（C）文档收?x3、(tb11500801)在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+?x,2+?y），则
集自网络，仅用于个人学习 （A） ?x+
111+2 (B) ?x--2 (C) ?x+2 (D)2+?x-
?x?x?x4、(tb11500801)在平均变化率的定义中，自变量的增量是（D）
（A）?x>0 (B) ?x<0 (C) ?x=0 (D) ?x?0 B组：
1、(tb11500702)过曲线f(x)=x3上两点P（1，1），Q（1+?x,1+?y）作曲线的割线，求当?x=0.1时割线的斜率。文档收集自网络，仅用于个人学习 （答：3.31）
2、(tb11500803)函数y=3x2-2x-8在x1=3处有增量?x=0.5，求f(x)在x1到x1+?x上的平均变化率。文档收集自网络，仅用于个人学习 （答：17.5）
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变化率与导数(教学设计)
