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第六章多元函数微分学
综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.
本章的主要知识点有：二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们，考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.
本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.方向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平面，6.空间曲面的切平面与法线.
常考题型一：连续、偏导数与全微分
1．【1994-1 3分】二元函数f(x,y)在点?x0,y0?处两个偏导数fx?(x0,y0),fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的（）
?A?充分条件而非必要条件?B?必要条件而非充分条件
?C?充分必要条件?D?既非充分条件又非必要条件
?xy，(x,y)?(0,0)22?2．【1997-1 3分】二元函数f(x,y)?x?y，在点(0,0)处（）
??0，(x,y)?(0,0)??A?连续，偏导数存在 ?C?不连续，偏导数存在
?B?连续，偏导数不存在
?D?不连续，偏导数不存在
3．【2002-1 3分】考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质，正确的是（） ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续 ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在
?A?②?③?①?B?③?②?①?C?③?④?①?D?③?①?④
4．【2003-3 4分】设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是
?A??C?f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. ?B?f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. ?D?f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.
5．【2007-1 4分】二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充分条件是（）
?A?(x,ylim?f(x,y)?f(0,0)??0.
)??0,0??B?limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy?C?(x,ylim)??0,0?f(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
?f?(x,0)?f?(0,0)??0,且lim?f?(0,y)?f?(0,0)??0. ?D?limxxyyx?0?y?0???6．【2008-3 4分】已知f(x,y)?ex2?y4，则
?A??C?fx?(0,0)，fy?(0,0)都存在?B?fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)存在 fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)不存在?D?fx?(0,0)，fy?(0,0)都不存在
7．【2012-1 4分】如果f(x,y)在?0,0?处连续，那么下列命题正确的是（） （A）若极限limx?0y?0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微
x?yf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微
x2?y2f(x,y)存在
x?yf(x,y)存在
x2?y2（B）若极限limx?0y?0（C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx?0y?0?f(x,y)8．【2012-2 4分】设函数f(x,y)可微，且对任意x,y都有?f(x,y)?0，?0，
?x?y则使得f(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是
(A) x1?x2,y1?y2 (C)x1?x2,y1?y2
(B)x1?x2,y1?y2 (D)x1?x2,y1?y2
9.【2012-3 4分】连续函数z?f(x,y)满足limx?0y?1f(x,y)?2x?y?2x?(y?1)22?0，则
dz(0,1)?________。
【小结】：1、二元函数在?x0,y0?处连续当且仅当函数值等于极限值，这里的极限指二重极限，也即limf(x,y)?f?x0,y0?.
x?x0y?y02、二元函数在?x0,y0?处的偏导数fx'?x0,y0?就是一元函数f?x,y0?在x?x0处的导数，它存在当且仅当极限limx?x0f(x,y0)?f?x0,y0?存在.注意，与连续性不同的是：这里的
x?x0极限过程是一元函数的极限.
3、判断函数在某一点?x0,y0?是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数
fx?x0,y0?,fy?x0,y0?.如果二者至少有一个不存在，则不可微.如果两个偏导数都存在，则
计算极限
??x,?y??(0,0)lim?z??fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y??x??y22，如果该极限不存在或不等于0则
不可微，如果该极限等于0则可微.
4、多元函数各种概念之间的关系与一元函数有所区别，具体来说：在多元函数中，偏导数存在不一定可导，偏导数存在也不一定连续，但可微则一定是连续并且存在偏导数.
常考题型二：偏导数的计算
1．链式法则的运用
10．【2000-3 3分】设z?f?xy,??x??z?y??g???，其中f,g均可微，则? y??x?x?11．【2004-3 4分】设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]?x?g(y)确定，其中函
?2f数g(y)可微，且g(y)?0，则?.
?u?v12．【2005-3 4分】设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz13．【2014-2 4分】设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?(1,0)?.
7确定的函数，则4dz|(1,1)?．
2214．【2006-3 4分】设函数f(u)可微,且f??0??的全微分dz?1,2??.
15．【2009-3 4分】设z?(x?ey)x，则
1,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处2?z? ?x(1,0)yx16．【1998-3 5分】设z?x?y?22?e?arctan?2z，求dz与.
?x?y?2u1x17．【1994-1 3分】设u?esin，则在点(2,)处的值为
??x?yy?x?2z118．【1998-1 3分】设z?f(xy)?y?(x?y),f、?具有二阶导数，则?
x?x?y19．【2007-1 4分】设f(u,v)是二元可微函数，z?f(xy,yx)，则
?z? __________. ?x?2z20．【2009-1 4分】设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则?.
?x?y21．【2011-1 4分】设函数F?x,y???xy0sint?2Fdt，则21?t2?x?___________.
x?0y?222．【2007-3 4分】设f(u,v)是二元可微函数，z?f?__________
23．【2008-2 4分】设z???z?z?yx?? ,?，则x?y?x?yxy???z?y?，则??x?x?y?xy(1,2)?
24．【2012-2 4分】设z?f?lnx?1?,其中函数f(u)可微，则
???x?z?z_______。
?y2??x?y?2z25．【1992-1 5分】设z?f(esiny,x?y)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求
?x?yx2226．【2000-1 5分】设z?f(xy,)?g()，其中f具有二阶连续偏导数，g具有
xyyx?2z二阶连续导数，求.
?x?y27.【2001-1 6
分】设函数z?f(x,y)在点(1,1)处可微，且
f(1,1)?1,d3dfdf?2,?3,?(x)?f(x,f(x,x))，求?(x)
dxdx(1,1)dy(1,1)x?128．【2004-2 10分】设z?f(x2?y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求
?z?z?2z. ,,?x?y?x?y29．【2009-2 10分】设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz?2z与 ?x?y30．【1997-3 5分】设u?f?x,y,z?有连续偏导数，y?y?x?和z?z?x?分别由方程exy?y?0和ez?xz?0所确定，求
du. dx
考研数学高数真题分类—多元函数微分学
