A．
1 4B．
1 3C．
1 2D．1
【答案】B
uuurruuurruuurr【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.令OP?a,OB?bOC?c.E为OB中点.由
rrrrra?b?1即可求得P点的轨迹方程.将c??a??b变形,结合??2??1及平面向量
rP,C,E.基本定理可知三点共线由圆切线的性质可知|c|的最小值m即为O到直线PE的距离最小值,且当PE与圆M相切时,m有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m的最大值. 【详解】
uuurruuurruuurrr根据题意,|b|?2,设OP?a??x,y?,OB?b??2,0?,OC?c,E?1,0?
ruuurb则OE?
2rr由a?b?1代入可得?x?2??y2?1
2即P点的轨迹方程为x+2rrrrrruuuruuurr?b?uuu又因为c??a??b,变形可得c??a?2???,即OC??OP?2?OE,且??2??1
?2?所以由平面向量基本定理可知P,C,E三点共线,如下图所示:
()2+y2=1
r所以|c|的最小值m即为O到直线PE的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当PE与圆M相切时,m有最大值 设切线PE的方程为y?k?x?1?,化简可得kx?y?k?0
由切线性质及点M到直线距离公式可得?2k?kk?12?1,化简可得8k2?1
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即k??2 42222x?y??0或x?y??0 4444所以切线方程为
?r所以当a变化时, O到直线PE的最大值为m?224??2?2?????1??4?13
即m的最大值为故选:B 【点睛】
1 3本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
10．已知函数f?x??ax?1?2x?ax?1（a?R）的最小值为0，则a?（ ）
2A．
1 2B．?1 C．??
D．?1 2【答案】C
???g?x??h?x??ax?1?2g?x?,g?x??h?x?fx?【解析】设?，计算可得???，2gx?hx?2x?ax?12hx,gx?hx??????????????再结合图像即可求出答案. 【详解】
2???g?x??h?x??ax?1?g?x??x?ax设?，则?， 22gx?hx?2x?ax?1hx?1?x??????????则f?x??g?x??h?x??g?x??h?x????2g?x?,g?x??h?x??，
2hx,gx?hx????????由于函数f?x?的最小值为0，作出函数g?x?,h?x?的大致图像，
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结合图像，1?x2?0，得x??1， 所以a??1. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.
二、填空题
11．若a?log23,b?log32,则ab=______,lga?lgb=______. 【答案】1 0
【解析】①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解. 【详解】
①由题：a?log23,b?log32, 则ab?log23?log32?log23?
②由①可得：lga?lgb?lgab?lg1?0. 故答案为：①1，②0 【点睛】
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目. 12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，
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log22?1； log23弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】63 12π﹣93
【解析】过O作OC?AB，交AB于D，先求得圆心角?AOB的弧度数，然后解解三角形求得AB的长.利用扇形面积减去三角形OAB的面积，求得弧田的面积. 【详解】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O作OC?AB，交AB于D，根据圆的几何性质可知，OC垂直平分AB. ∴α＝∠AOB＝
4?2??＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
336?3＝2×6?＝63， 32∴AB＝2AD＝2OAsin
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝故答案为：63，12π﹣93．
11?4π×6﹣?63?3＝12π﹣93． 22
【点睛】
本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.
?y?1?13．已知实数x、y满足?y?2x?1，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取
?x?y?m?值范围为______，若目标函数z?x?y的最小值为-1，则实数m等于______. 【答案】m?2 m?5
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数
z?x?y的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
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作出可行域如图，
则要为三角形需满足B?1,1?在直线x?y?m下方，即1?1?m，m?2； 目标函数可视为y?x?z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数， 该直线截距最大在过点A时，此时zmin??1，
直线PA：y?x?1，与AB：y?2x?1的交点为A?2,3?， 该点也在直线AC：x?y?m上，故m?2?3?5， 故答案为：m?2；m?5. 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用?表示两名老师之间的学生人数，则??1对应的排法有______种；E???? ______； 【答案】36 ；1.
123【解析】?的可能取值为0，1，2，3，??1对应的排法有：C3A2A3?36.分别求出
P???0?，P???1?，P???2?，P???3?，由此能求出E???.
【详解】
解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用?表示两名老师之间的学生人数，
则?的可能取值为0，1，2，3，
23??1对应的排法有：C13A2A3?36.
∴??1对应的排法有36种；
4A2482A4P???0???，
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2020届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
