关于理想约束和虚位移原理——分析力学札记之二十
梅凤翔
【摘 要】理想约束是分析力学的基本假定，虚位移原理是分析静力学的基本原理．本文从经典著作和重要教材中提取一些信息，期望描述理想约束和虚位移原理的形成和发展，并发表一些议论． 【期刊名称】《力学与实践》 【年(卷),期】2012(034)005 【总页数】3页(P61-63)
【关键词】分析力学;理论力学;理想约束;虚位移原理 【作 者】梅凤翔
【作者单位】北京理工大学力学系,北京100081 【正文语种】中 文 【中图分类】其他
第 5 期 梅凤翔： 关于理想约束和虚位移原理 —— 分析力学札记之二十 61关于 理想 约 束和 虚位移原 理分析力学札记之二十梅凤翔 1 ）（北京理工大学力学系， 北京 100081 ）摘要理想约束是分析力学的基本假定， 虚位移原理是分析 静力学的基本原理． 本文从经典著作和重要教材中提取一些 信息， 期望描述理想约束和虚位移原理的形成和发展， 并发 表一些议论，关键词分析力学， 理论力学， 理想约束， 虚位移原理中图分类号：031文献标识码： A文章编号：1000-0879(2012)05-061-03DOI:10.6052/1000-0879-11-496 1Lagrange 的有关论
述 1.1Lagrange 的论述 Lagrange JL(1736 ～1813) 的著作 《 分析力学》第 1 卷《静力学》第 1 节“关于静力学的各种原理” 中论述了静力 学的发展史， 将静力学的基本定律归结为 3 个原理： 杠杆原理，力的合成原理和虚速度原理， 并认为虚速度原理是静力 学最普遍的基本定律． Lagrange 的虚速度原理表述为 “如果任何数 目的物体或点的某个系统， 在每个点受到任何力的作 用而处 于平衡， 如果给这个系统任何小的运动， 结果每个点 走过无限小路程， 即发生虚速度， 那么 力与每个沿力方 向产 生的相应路程的乘积的和总等于零” 【 lJ ．Lagrange把这个提法当作 Varignon-Bernoulli 提法的进一步推广．Lagrange 给出虚速度原理的两种表达． 用 只 Q ，R ，…表示加在系统点上的力， 用 a ，p ，7 ，… 表示这些点虚位移在 这些力方向上的投影 （ 精确到一阶小量） ， 虚速度原理的第一 种表达为 PQ+Q 卢+R7+ …=0把点的位移在力方 向的投影 Q ，卢 ，-y，… 用距离微分改变dp，dq ，dr ，… 来替代， 就得到虚速度的第二种表达 Pdp+Qdq+Rdr +...=0将公式左端表达式 Pdp ，Qdq ，Rdr ，… 称为“ 力 矩” ．1.2 对 Lagrange 论述的理解 (1)Lagrange著作中的虚速度原理， 就是虚位移原理，或虚功原理． Lagrange 著作中的“力矩 ” 就是力的功 [2] 有关功的提法有很长历史， 1829 年 Coriolis 将这个原理改为“虚功原理” I3] ．(2)Lagrange著作中并没有将力分为主动力和约束力，也没有出现
LiaisonParfaite （ 理想约束） 的提法． (3) 文献 [4] 指出， 将力分为主动力和约束力大约出现在 1856年法国学者 Delaunay 的 《 理性力学》中 I5 】 ．(4) 可 以将 Lagrange 的虚速度原理理解为适合任何约 束系统， 既适合理想约束系统， 也适合非理想约束系统．2 Appell的有关论述 2.1Appell 的论述
AppellP(1855 ～1930) ， 法国科学院院士， 他的巨著 《 理 性力学》[5] 共 5 卷， 第 1 卷为静力学 · 点的动力学， 第 2 卷为系统动力学．分析力学． 这套书曾经多次再版， 有 1896 ， 1899， 1953 ， 1955 各版， 不仅在法国， 而且在世界都
是非常著名的教材． Appell 《 理性力学》第 1 卷第 8 章为“虚速度原理” ． 第157节将原理表述为“系统平衡的必要充分条件是， 对为约束允许的任何虚位移， 直接作用力的虚功之和等于零” ， 第162 节“引理 ” 中写道 “不论质点系是否处于平衡， 约束力在为约束允许的任何虚位移上的虚功之和等于零． 在此， 无摩擦假设至关重要” ． 第164 节 “ 无摩擦约束 ”中写道： “ 已知看到， 如果没有摩擦， 最简单约束情形中约束力在为约束允许的任何虚位移 上的虚功之和等于零， 对于复杂的约束， 例如， 对于用方程表 示的约束， 这个性质应作为无摩擦 自身概念的定义：如果在 任何虚位移上约束力的功之和等于零， 约束将是无摩擦的 ”在他著作第 2 卷第 18 章关于系统运动的普遍定理 ” 第 343 节 “ 最特殊情形， 约束力的功等于零” 中写道： “如果约束不依赖于时间， 即如果它们像 176 节用方程表示的，其中仅有系统点的坐标， 此外， 如果约束无摩擦发生， 那么约束力在实位移上的元功之和等于零，”如果约束不依赖于时间且没有摩擦， 那么动能的微分等于给定力的元功之和， 2.2 对 Appell 论述的理解(1)Appell 著作的第 1 卷和第 2 卷俄译 为“理论力学 ” 【 7] 俄译本将第 164 节的标题“ 无摩擦约束 ”改译为 “理 想约束” ， 而 Appell 的著作中并未出现“ 理想约束 ”的字样，本文于 2011-12-23收到． 1) 梅风翔， 教授， 博士生导师， 从事一般力学和应用数学的教学和科研工作． E-mail:meifx@bit.edu.cn第5期梅凤翔： 关于理想约束和虚位移原理 —— 分析力学札记之二十理想约束是分析力学的基本假定， 虚位移原理是分析静力学的基本原理． 本文从经典著作和重要教材中提取一些信息， 期望描述理想约束和虚位移原理的形成和发展， 并发表一些议论，文章编号：1000-0879(2012)05-061-03 DOI:10.6052/1000-0879-11-496 1 1.1的论述中论述了静力学的发展史， 将静力学的基本定律归结为 3 个原理： 杠杆原力的合成原理和虚速度原理， 并认为虚速度原理是静力学最普遍的基本定律． Lagrange 的虚速度原理表述为任何数 目的物体或点的某个系统， 在每个点
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