步骤规范练——空间向量与立体几何
(建议用时：90分钟)
一、填空题
1．已知a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的________条件．
解析 若l⊥α，则l与a，b所在的直线垂直，∴c⊥a，c⊥b，∴c·a＝0，c·b＝0，是必要条件；∵a≠b，∴当a与b同向(或反向)时，由c·a＝0且c·b＝0可以推出c⊥a且c⊥b，但不能推出l⊥α，不是充分条件． 答案 必要不充分
π
2．已知二面角α－l－β的大小为3，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成角的度数为________．
解析 设m，n的方向向量分别为m，n.由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面π1π2π
α，β的法向量．∵|cos〈m，n〉|＝cos3＝2，∴〈m，n〉＝3或3.但由于两异π?π?
面直线所成的角的范围是?0，2?，故异面直线m，n所成的角为3.
??π
答案 3
3．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是________．
①BC∥平面PDF ②DF⊥平面PAE ③平面PDF⊥平面ABC
④平面PAE⊥平面ABC
解析 ∵D，F为中点，∴DF∥BC，又DF?面PDF，BC?面PDF，∴BC∥面PDF，①正确；∵E为BC中点，正四面体P—ABC，∴AE⊥BC，∴PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，∴DF⊥面PAE，②正确；∵BC?面ABC，∴面ABC⊥面PAE，④正确．假设平面PDF⊥平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故③不成立． 答案 ①②④
4．(2013·潍坊二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确的命题是________．
解析 命题①中，α与β不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题②正确；易知，命题③正确，命题④不正确． 答案 ②③
5．在以下命题中，不正确的个数为________． ①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件； ②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
→→→→③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
解析 ①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共
面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确． 答案 4
6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，→→
F(1,0,0)，OE＝(－1，1,1)，FD1＝(－1,0,2)， →→→→∴OE·FD1＝3，|OE|＝3，|FD1|＝5， →→
∴cos〈OE，FD1〉＝
315
＝5. 3·5
15
即OE与FD1所成的角的余弦值为5.
答案
155
7．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射
影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________． 解析 设A1在面ABC内的射影为O，过O作OH∥BC交AB于点H，以O为坐标原点，OA，OH，OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设?3??316?
△ABC边长为1，则A?，0，0?，B1?－，，?，
?3??223?→?5316??. ∴AB1＝?－，，
623??
面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sin α→
＝|cos〈AB1，n〉|＝
63
2＝3.
751636＋4＋9
2
答案 3
8．如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：
2①点M到AB的距离为2； 1
②三棱锥C－DNE的体积是6； π
③AB与EF所成的角是2
其中正确命题的序号是________．
12
解析 依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为2MC＝2，111
∴①正确；而VC－DNE＝3×2×1×1×1＝6，∴②正确；AB与EF所成的角等π
于AB与MC所成的角，即为2，∴③正确．
答案 ①②③
9．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为_______． 解析 取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则1??3??
A?0，0，?，B?0，－2，0?，
??2??
→?3?→??3?→?13?→?31
D?，0，0?.∴OA＝?0，0，?，BA＝?0，，?，BD＝?，，0?.由于OA
2?22??2????22??3?
＝?0，0，?为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法
2??→→525
向量n＝(1，－3，1)，∴cos〈n，OA〉＝5，∴sin〈n，OA〉＝5.
25
答案 5
10．正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，
则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
解析 如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.
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