第二章 函数、导数及其应用
第1节 函数及其表示
考点一 求函数的定义域
1
(1)(2019·长沙模拟)函数f(x)＝2－2＋logx的定
3
x
义域为( B )
A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x＞1}
x
2－2≥0，?
?
解析：要使函数有意义，则必须满足?x＞0，
??log3x≠0，
故选B.
∴0＜x＜1，
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( B )
A．(－1,1) C．(－1,0)
1???B.－1，－2? ??
?1?D.?2，1? ??
解析：令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)可知－1＜u＜0，1
即－1＜2x＋1＜0，得－1＜x＜－2. 【条件探究】 若典例(2)中条件变为：“函数f(x－1)的定义域
为(－1,0)”，则结果如何？
解：因为f(x－1)的定义域为(－1,0)，即－1＜x＜0，所以－2＜x－1＜－1，故f(x)的定义域为(－2，－1)，则使函数f(2x＋1)有意义，3
需满足－2＜2x＋1＜－1，解得－2＜x＜－1.所以所求函数的定义域为
?3??－，－1?. ?2?
【结论探究】 若典例(2)中条件不变，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(3x＋1)的定义域．
21
解：函数f(3x＋1)有意义，需－1＜3x＋1＜0，解得－3＜x＜－3，1
又由f(2x＋1)有意义，解得－1＜x＜－2，所以可知g(x)的定义域为1??2
?－，－?.
2??3
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(1)(2019·唐山模拟)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)
?x?
＝f?2?＋f(x－1)的定义域为( C ) ??
A．(－2,0) C．(0,2)
B．(－2,2)
?1??D.－2，0? ??
?－1＜x＜1，
2解析：由题意得?
?－1＜x－1＜1，
??－2＜x＜2，∴?∴0＜x＜2， ??0＜x＜2，
?x?
∴函数g(x)＝f?2?＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.
??
?1?2x2
?(2)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域为－3，1?. ??1－x
??1－x＞0，2x2
解析：要使函数f(x)＝＋lg(3x＋1)有意义，则?
?1－x?3x＋1＞0，
12x2
解得－3＜x＜1，所以函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域为
1－x
?1??－，1?. ?3?
考点二 求函数的解析式
1?21?
(1)已知f?x＋x?＝x＋x2，求函数f(x)的解析式．
??
?2?
?(2)已知fx＋1?＝lgx，求f(x)的解析式． ??
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
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