圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第三部分 概率论与数理统计
第11章 随机事件与概率
11.1 考点归纳
一、随机事件的描述及其关系运算 1．随机现象
在一次试验中出现什么结果呈现不确定性，而在大量重复试验中其结果又呈现出固有统计规律的现象．
随机现象是通过随机试验来进行研究的． 2．随机试验应满足的3条要求 （1）试验在完全相同条件下重复进行；
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现． 3．随机事件
随机事件（简称事件）即随机试验中可能发生也可能不发生的结果． （1）必然事件：随机试验中必然发生的事件，记为S；
（2）不可能事件：随机试验中必然不发生的事件，记为?．必然事件和不可能事件都是确定性的，只是为研究方便，规定它们为特殊的随机事件．
4．基本事件
随机试验中满足以下两条结果称为基本事件：
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 （1）每次试验出现且仅出现这些结果中的一个； （2）任何事件均由这些结果中的若干个组成． 基本事件是试验中不能再细分的最简单的随机事件． 5．样本空间
随机试验中每一个基本事件称为样本点，所有样本点构成的集合称为样本空间，记为S． 6．随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件与样本空间之间的关系
随机事件是样本空间的子集；基本事件是样本空间的单点集；必然事件就是样本空间；不可能事件是空集．
7．事件间的关系与运算
（1）事件的包含与相等：若事件A发生，事件B必发生，则称B包含A，记为A?B；若事件A包含B，且B也包含A，则称事件A与B相等，记为A=B．
（2）事件的并（和）：事件A与B至少发生一个，则称为A与B的和事件，记为A类似可定义A1,A2,B；
,An的和事件：A1+?A2An=?Ai，也可定义可列无穷多个事
i=1n件Ak(k=1,2,)的和?Ak．
k=1（3）事件的交（积）：若事件A与B同时发生，则称为事件A与B的积事件，记为
AB；类似可定义A1,A2,,An的积：A1A2An=?Ai．
i=1n（4）事件的差：事件A发生，但事件B不发生，称为事件A与B的差事件，记为A?B． （5）对立事件：事件“非A”称为A的对立事件，记为A．一次随机试验中，事件A与A发生且仅发生一个．事件A与B互为对立事件的充要条件是AB=S且AB=?．
（6）事件A与B互不相容：若事件A与B满足AB=?，A与B互不相容．
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 注：对立事件一定互不相容；反之，若两事件互不相容，它们不一定对立． （7）事件间的运算规律
交换律：A?B=B?A，AB=BA；
结合律：(A?B)?C=A?(B?C)，(AB)C=A(BC)；
分配律：(A?B)C=(AC)?(BC)，(AB)?C=(A?C)?(B?C)； 德·摩根定律：A?B=A?B，AB=A?B（可推广到n个事件）．
二、事件的频率与概率 1．频率
在n次试验中，事件A发生了?次，则称f=率．
2．概率的统计定义
在相同条件下重复进行n次试验，当试验次数n很大时，如果事件A发生的频率
?n为事件A在此n次试验中出现的频
?稳n定地在一个常数p附近摆动，而且一般说来，随着n的增加，摆动幅度越来越小，则称数p为事件A发生的概率，记为p(A)=p．
注：频率是一个变数，概率是一个定数． 3．概率的公理化定义
设随机试验E的样本空间为S，对于S中每一个事件A，赋予一个实数P(A)，如果满足：
（1）0?P(A)?1； （2）P(S)=1；
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ?+??+?（3）对于任意两两互斥的事件Ai(i=1,2,)，有P?Ai?=?P(Ai)，
?i=1?i=1则称P(A)为事件A的概率． 4．概率的基本性质
（1）对于任何事件A，都有0?P(A)?1； （2）P(S)=1，P(?)=0； （3）若事件A1,A2,?n?n,An两两互不相容，则P?Ai?=?P(Ai)；
?i=1?i=1（4）对A和A，有PA=1?P(A)；
（5）若事件B?A，则P(A?B)=P(A)?P(B)，且P(A)?P(B)；
（6）对任何事件A,B有P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)，该式称为加法公式． 5．古典概型
若随机试验E满足以下两条：
（1）有限性：样本空间含有有限个基本事件； （2）等可能性：每个基本事件发生的概率相等， 则称此概率模型为古典概型． 在古典概型中，事件A的概率P(A)=
三、条件概率、乘法公式、事件的独立性 1．条件概率
设A，B为两随机事件，且P(B)?0，则称P(AB)=下事件A发生的条件概率．
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()A中包含基本事件总数．
样本空间中基本事件总数P(AB)为事件B发生的条件
P(B) 圣才电子书 www.100xuexi.com2．乘法公式
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB)．
3．事件的独立性
若事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立．
重要结论：下列4对事件：A与B，A与B，A与B，A与B，若其中有1对相互独立，则其余3对也相互独立．
四、全概率公式与贝叶斯公式 1．完备事件组
设S是随机试验E的样本空间，A1,A2,两条：
（1）对任意i?j(1?i,j?n)，AiAj=?；
n,An是E中的n个随机事件，如果满足下面
（2）
i=1Ai=S，
则称A1,A2,,An为S的一个完备事件组，又称S的一个划分．
2．全概率公式
设S是随机试验E的样本空间，B是随机试验E中任一随机事件，A1,A2,一个划分，且P(Ai)?0(i=1,2,3．贝叶斯公式 设A1,A2,,An是S的
,n)，则P(B)=?P(Ai)P(BAi)．
i=1n,An为样本空间S的一个划分，B是E中任一事件，则有
P(AiB)=P(Ai)P(BAi)
?P(A)P(BA)iii=1n 5 / 11
全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-随机事件与概率(圣才出品)
