精品课程《高等数学》（线性代数部分）电子教案
第十三章 线性规划与数学建模简介
【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时
【授课方法】课堂讲授与提问相结合
【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤；
2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法.
【本章重点】线性规划问题.
【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】
本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。
§1 数学建模概述
一、数学建模
数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。
二、数学模型的概念
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模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。
通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。
三建立数学模型的方法和步骤
建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1. 建模准备
建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。
2．模型假设
作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。
合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。
3．构造模型
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在模型假设的基础上，开始构建数学模型。首先分析变量类型，恰当使用数学工具。一般而言，如果实际问题中的变量是确定型变量，数学工具可采用微积分、微分方程、线性或非线性规划、投入产出、确定性库存论等。如果变量是随机变量，数学工具可采用概率与统计、排队论、对策论、决策论、随机微分方程、随机性库存论等。其次，抓住问题本质，简化变量之间的关系。可以说，数学的任一分支在构造模型时都可能有用，而同一实际问题也可以构造不同的数学模型。一般而言，在能够达到建模目的前提下，所用的数学工具应力求简单、易解，但要保证模型的解的精确在允许的范围内。
4．模型求解
不同的模型要选择或设计不同的数学方法和算法求解，许多模型还可以通过编写计算机程序软件包，借助计算机快速完成对模型的求解。
5．模型分析
对模型的求解结果进行分析，主要包括稳定性分析，参数的灵敏度分析，误差分析等。通过分析，若发现不符合建模要求，就要修改或增减建模假设条款，重新构造模型，直到符合要求。若模型符合要求，则可以对模型进行评价是、预测民、优化等方面的探析，力争得到最优模型。
6．模型检验
对于经过分析后符合要求的模型，还要把它放回到实际对象中去进行检验，看它是否符合实际，能否解决相应的实际问题。若不符合实际，就要修改前提假设，重新建模，重新分析，直到获得符合实际的模型。
7．模型应用
建模最终目的，是用模型来分析、研究和解决实际问题。因此，一个成功和数学模型必须能够在实践中得到成功的应用，甚至形成一套科学和理论。图13――1
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