中考数学压轴题全面突破之三?点的存在性
题型特点
存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等．
点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等． 解题思路
解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．
难点拆解
点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有： ①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达线段长．
②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．
③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中，再借助线段间关系建等式．
1. （2009湖北武汉）如图，抛物线
点，与x轴交于另一点B．
经过A(﹣1，0)，C(0，4)两
1 / 8
（1）求抛物线的解读式；
（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点
P的坐标．
yCABOx2 / 8
yCABOx
2. （2012江苏南通改编）如图，经过点A(0，﹣4)的抛物线
轴交于点B(﹣2，0)和点C，O为坐标原点． （1）求抛物线的解读式． （2）将抛物线
先向上平移个单位长度、再向左平移m
与x
（m>0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．
（3）若点M在y轴上，且∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．
yy
BOCxBOCxAA3 / 8
3. （2011广东深圳）如图1，抛物线
（a≠0）的顶点为C(1，4)，
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标为(3，0)． （1）求抛物线的解读式．
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使以D，G，F，H四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G，H两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． yCDyPCEy D AO 图1
DFBxAO图2QBxAO图3Bx4 / 8
4. （2012浙江温州）如图，过原点的抛物线
（m>0）与x轴的另一
个交点为A．过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B，C不重合）．连接CB，CP． （1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长． （2）当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并求出相对应的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
y BCyy O
PMAxOxOx5 / 8
中考数学压轴题全面突破之三点的存在性（含答案）
