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代入初始条件：t?0时，v?0，故
D??2T c?即
?2T??t??v?c?t??1?? ?cos??2T???又因为
v?ds
dt所以
?2T??t???1??dt ?cosds?c?t???2T???对等式两边同时积分，可得：
?12T?2T?t??s?c?t2?sin?t?? ????2T???2
1.6 解 由题可知质点的位矢速度
v//??r①
沿垂直于位矢速度
v????
又因为 v//?r???r ， 即
???r r???? ?r???即?v???ra?dvdd?j（取位矢方向i，垂直位矢方向j） ?i???r?r?dtdtdt??所以
?ddrdi?j ?i????i?r???ri?r??rdtdtdt?ddr?d??j?r????2i ??dj?r??j?r?r?j??j?rj?r?dtdtdtdt??故
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?2i?r????2r?j ??a??r??r?????即 沿位矢方向加速度
?2 a??r??r???垂直位矢方向加速度
???2r? ??a??r???对③求导
????2r r???r对④求导
???????r2??r?????????????
r?r?把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
?2?2
a//??r?2r???a????????
r??1.7 解 由题可知
?x?rcos? ①②
??y?rsin?对①求导
? ③ ??r?cos??rsin??x对③求导
?sin??r???sin??r??2cos?④ ??????xr?cos??2r对②求导
?cos?⑤ ??r?sin??r?y对⑤求导
?cos??r???cos??r??2sin?⑥ ??????yr?sin??2r对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1图
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y?a??arO?题1.7.1图
x即
??arcos??a?sin?x?? ⑦--⑧ ???arsin??a?cos?y??对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦?cos?，⑧?sin? 即得
?cos??arcos??a?sin?cos?x?? ⑨--⑩ ??sin??arsin??a?sin?cos?y??⑨+⑩得
?cos????sin? ⑾ ar??xy把④⑥代入 ⑾得
?2 ar??r??r?同理可得
???2r? ??a??r?1.8解 以焦点F为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]
y??OFMx
题1.8.1图则M点坐标
?x?rcos?
??y?rsin?对x,y两式分别求导
?sin????r?cos??r??x ??cos????r?sin??r??y学习必备 欢迎下载
故
?sin??2?y?2?r?cos??r?v2?x如图所示的椭圆的极坐标表示法为
????r?sin??r??cos??22?2?r2?2 ?ra1?e2 r?1?ecos???对r求导可得（利用????）又因为
11ecos? ??22ra1?ea1?e????即
a1?e2?r cos??re??所以
a2?1?e2??r2?2ar?1?e2?
sin??1?cos??1?r2e2222故有
v?e2?2r4a?1?e2222e2?2r4a2?1?e2?a?1?e22sin2??r2?2
??22[1???r?2ar?1?er2e222?]?r2?2
?e2r2?r2?2ar?1?e2???2r2r2?2?2????2?2a?r?r 22a?1?e??1?eb?即
v?r?r?2a?r? b（其中b2??1?e2?a2,b为椭圆的半短轴）
1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为
v?vxi?vyj
令为位矢与轴正向的夹角，所以
???dvydvdvxdidvydj?dvx???? ??v?i??v??a??i?vx?j?vyy?x?j?dtdtdtdtdt?dt??dt?学习必备 欢迎下载
所以
?dvy??dv???????vxi?vyj? a???x?vy?i??v???x?j??dt??dt??vxdvydvy dvx??v??vdvx?v?vxvy??vv?yxyxydtdtdtdt又因为速率保持为常数，即
v2x?v2y?C,C为常数
对等式两边求导
dvydvx2vx?2vy?0
dtdt所以
a?v?0
即速度矢量与加速度矢量正交.
1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，
yO?p??,p??2???p??,?p??2?x
题1.10.1图则质点切向加速度
at?2v法向加速度an?，而且有关系式
dv
dt?dvv2 ① ??2kdt?又因为
1??y???1?y??322 ②
理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案
