2013届中考数学解题方法总复习5
解答开放题
我们知道中考数学试卷中会有一些开放性试题，这些试题考查的知识点较多，综合性强，还考查对数学的理解和对数学知识的运用，灵活多变，有一定的难度。
开放性试题，可以分为三类，即条件开放性试题、过程开放性试题、结论开放性试题，这些试题没有固定的解题步骤和解答的程序，且答案不唯一。
下面我们就看几个例题，希望能帮助你掌握解答这类试题的基本方法。 例1 如图，在下面四个等式：①AB?DC，②BE?CE，③?B??C，④?BAE??CDE中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．写出所有的方法，并完成其中一种的证明．
分析：这是一个条件开放的题目。 首先，我们将条件进行组合。
AEDBC根据下表可以得到12种组合，由于其中（1，2）与（2，1）表示同一种意思，所以去掉重合后共有6种组合。即: （1）①AB?DC，②BE?CE （2）①AB?DC，③?B??C （3）①AB?DC，④?BAE??CDE （4）②BE?CE，③?B??C （5）②BE?CE，④?BAE??CDE （6）③?B??C，④?BAE??CDE
然后，我们从结论出发去思考。
（1）若△AED是等腰三角形，则必须AE= DE，需要△ABE≌△DCE （2）若△AED是等腰三角形，则必须∠EAD=∠EDA，需要△ABD≌△DCA
显然，每个组合中的两个条件是不够的，题目中还有哪些隐含的条件呢？我们发现，图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）。这样，我们发现：
组合（1）：①AB?DC，②BE?CE再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）不能证明△ABE≌△DCE或△ABD≌△DCA全等。
组合（2）：①AB?DC，③?B??C再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（SAS）
1 2 3 4
1 （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2）
（3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3）
（4，3）
4 （1，4） （1，4） （3，4）
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组合（3）：①AB?DC，④?BAE??CDE再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（SAS）
组合（4）②BE?CE，③?B??C再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（ASA）
组合（5）②BE?CE，④?BAE??CDE再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（SAS）
AE??CDE组合（6）：③?B??C，④?B再加上图中的∠AEB=∠DEC（对
顶角相等）也不能证明△ABE≌△DCE或△ABD≌△DCA全等。
而根据上面的组合，使△ABD≌△DCA全等不可能。 下面完成解答： 答：方法1：①③； 方法2：①④； 方法3：②③； 方法4：②④.
已知：①③（或①④，或②③，或②④） 求证：△AED是等腰三角形． 证明：在△ABE和△DCE中，
AEDBC??B??C????AEB??DEC ∴△ABE≌△DCE ?AB?DC?∴AE?DE 即△AED是等腰三角形
条件开放性试题，需要考虑完备性，即要将所有可能的情况都考虑到，这就需要选择方法，在这里我们使用了在计算概率时常用的方法——列表法，以保证各种情况都考虑到。
条件开放性试题，由于条件是开放的，因此，这类问题常常需要从结论出发进行分析思考，寻求结论成立所需要的条件，这是一种逆向思维的方法。
条件开放题，常常出现一些条件不能使结论成立，这类条件需要通过正确的判断进行甄别，将不符合要求的条件舍去。
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例2 如图，直线l1的解析表达式为y??3x?3， 且l1与x轴交于点D，直线l2 经过点A，B，直线l1，
l2交于点C．在直线l2上存在异于点C的另一点P，
使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点 ．．
P的坐标．
分析：这是一个过程开放的题目。
我们发现所求的P点必须满足两个条件： 条件1，点P在直线l2上；
条件2，使得△ADP与△ADC的面积相等。
CEAPD我们知道，两个三角形面积相等的条件有： 图1
（1）等底同高的两个三角形的面积相等。如图1，A是CP的中点，DE⊥CP，垂足为E，则△ADP与△ADC的面积相等。 （2）同底等高的两个三角形面积相等。如图2， AD⊥BC，A/D⊥BC，A//D⊥BC，垂足分别为D、E、
BDCEFAA'A''F，且AD= A/D= A//D，则△ABC与△A/BC、 图2 △A//BC的面积相等。
（3）全等三角形的面积相等。如图3，延长DA 到E，使AE=DA，在CA的延长线上取点P，使CA=AP，
DCAEP连接EP，显然构造的△AEP与△ADC全等，则△ADP与
△ADC的面积相等。。 图3
我们发现，根据条件1，△ADP与△ADC的位置应该
与图1或图3类似。
对于图1，我们只要使PA=AC即可。也就是将点C绕
点A旋转180°，就得到P点。只要知道了点C的坐标，就可以写出点P的坐标了。从图中我们可以直观的看 出C（-3，2），则P（6，3）。
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对于图3，我们要使AE=AD，还要使PA=AC，同样只要知道点C的坐标，就可以写出点P的坐标了。
这时我们还需要再找一下，看还有没有满足条件的点。显然没有了。 另外我们还可以验证一下，我们找到的P点，是否在l2上：
根据图中提供的信息，我们知道A（4，0），B（3，?），这时，直线l2的解析表达式为y?323x?6，将P（6，3）代入解析式，等式成立。因此，P（6，3）2就是符合条件的点。
例3 如图，已知半径为1的?O1与x轴交于A，B两点，OM为?O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），线段OM上是否存在一点P，使得以
P，O，A为顶点的三角形与△OOM相似．若存在，请1求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：这是一个结论开放的题目。 我们发现所求的P点必须满足两个条件： 条件1，点P在线段OM上；
条件2，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似。
我们知道△OOM是直角三角形，且OO1=2，O1M=1，根据勾股定理，可得1MO=3。
若以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似，则它也一定是直角三角形，且∠MOO1为公共角。显然这样的三角形是很容易作出来的，点P一定存在。
我们可以通过作垂线构造直角三角形：
（1）如图，过A作PA⊥x轴，垂足为P。P点的横坐标就是线段OA的长度1，纵坐标就是线段AP的长度。
我们可以利用“相似三角形对应边成比例”求得线段OA、AP的长度： 由于△OAP∽△OMO1→
yMOAO1BxOAAP13→→??OMMO1AP1yMx
OPAO1B2013届中考数学解题方法总复习5
AP=
33，故P（1，）。 33我们还可以利用“锐角三角函数”求线段AP的长度：
在Rt△OMO1中，由于OO1=2，O1M=1，所以，
OM1 tan∠MOO1=1?OM3 在Rt△OAP中，由于OA=1，所以tan∠AOP=
APAP? OA1 因为∠MOO1=∠AOP，所以tan∠MOO1=tan∠AOP，即
AP1? 13故AP=33，P（1，）。 33 我们还可以利用“特殊的直角三角形的性质” 求线段AP的长度： 在Rt△OMO1中，由于OO1=2，O1M=1，所以∠MOO1=30° 在Rt△OAP中，由于OA=1，tan∠AOP= tan 30°=
APAP3?= OA13yMx33故AP=，P（1，）。
33（2）如图，过A作AP⊥OM，垂足为P，过P 点作PH⊥x轴，垂足为H，这时点P的横坐标就是 线段OH的长度，纵坐标就是线段HP的长度。
在Rt△OAP中，由于OA=1，∠AOP=30°，cos30°=
OPHAO1BOP3?OP= OA2在Rt△OHP中，由于OP=
3，∠HOP=30°， 2sin 30°=
HP313→HP=OPsin30°=×=
24OP2 cos30°=
OH333→OH=OP cos30°=×= OP224
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