第3讲 圆锥曲线的综合问题
「考情研析」 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题． 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.
核心知识回顾
1.最值问题
求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值．
2．范围问题
求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”．不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等．
3．定点问题
在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．
4．定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．
5．存在性问题的解题步骤
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．
热点考向探究
考向1 最值与范围问题 角度1 最值问题
例1 已知抛物线C的方程为y＝2px(p>0)，点R(1，2)在抛物线C上． (1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：
2
y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．
解 (1)∵点R(1,2)在抛物线C：y＝2px(p>0)上， ∴4＝2p，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y＝4x.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝m(y－1)＋1，m≠0，
2
2
??x＝m?y－1?＋1，由?2
?y＝4x，?
消去x并整理得y－4my＋4(m－1)＝0，
2
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)， 设直线AR的方程为y＝k1(x－1)＋2，
??y＝k1?x－1?＋2，由?
?y＝2x＋2，?
解得点M的横坐标xM＝
k1
k1－2
，
又k1＝
y1－2y1－24k122
＝2＝，∴xM＝＝－，同理点N的横坐标xN＝－， x1－1y1y1＋2k1－2y1y2
4－1
2
2
|y2－y1|＝?y2＋y1?－4y1y2＝4m－m＋1，
?22?∴|MN|＝5|xM－xN|＝5?－＋?
yy?
1
2
?
?y2－y1?＝85 m－m＋1 ＝25??4|m－1|?y1y2?
m2－m＋1＝25 ，
|m－1|
令m－1＝t，t≠0，则m＝t＋1， ∴|MN|＝25
2
?1＋1?2＋3≥15，当t＝－2， ?t2?4??
即m＝－1时，|MN|取得最小值15，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0.
解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的．
x2y22
(2024·湘赣十四校高三联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，左焦点为F1，
ab2
点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A′，求△F1A′B面积的最大值．
解 (1)解法一：∵e＝＝
ca222222
，∴a＝2c，又a＝b＋c，∴b＝c.∴当直线AF1的斜率为2
1时，直线AF1通过椭圆上的顶点，
∴|AF1|＝b＋c＝a＝2.
又a＝2c，b＝c，∴b＝1，椭圆C的方程为＋y＝1.
2
解法二：设椭圆的右焦点为F2，在△AF1F2中，|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，|F1F2|＝2c， ∴(2a－2)＝2＋(2c)－2·2·2c·cos45°， 即a－2a＝c－c. ① 又∵e＝＝
2
22
2
2
2
22x2
2
ca2
，∴a＝2c. ② 2
2
2
2
联立①②，得a＝2，c＝1，又a＝b＋c，∴b＝1. ∴椭圆C的方程为＋y＝1.
2解法三：∵e＝＝
x2
2
ca222222
，∴a＝2c，又a＝b＋c， 2
x2y2
∴a＝2b＝2c.∴椭圆C的方程可化为2＋2＝1，
2cc即x＋2y＝2c.③
又直线AF1的方程为y＝x＋c.④
联立③④，得x＋2(x＋c)＝2c，即3x＋4cx＝0， 4
∴x＝0或x＝－c.直线AF1的斜率为1且A在x轴上方，
3∴xA＝0，
∴A的坐标为(0，b)．∴|AF1|＝c＋b＝a，∴a＝2，又a＝2b＝2c，∴b＝c＝1. ∴椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)如图，∵A在x轴上方，∴直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my－1.
222
2
2
2
2
2
2
x2
2
∵F1，A′，B三点能构成三角形，
(全国通用)2024版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习理
