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第四章：函数
中考要求及 命题趋势
函数是数形结合的重要体现，是每年中考 的必考 内容，函数的概念主要用选择、填空 的形式考查 自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右。一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右。反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3——6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中。要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题。会求一元二次方程的近似值。
应试对策 1、 理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点。 2、 要进行自变量与因变量之间的变化图像识别的训练，真正理解图像与变量的关系。 3、 掌握一次函数的一般形式和图像 4、 掌握一次函数的增减性、分布象限，会作图 5、 明确反比例函数的特征图像，提高实际应用能力。 6、 牢固掌握二次函数的概念和性质，注重在实际情景中理解二次函数的意义，关注与二次函数相关的综合题，
弄清知识之间的联系。
第一讲 平面直角坐标系
【课前热身】
1.（08龙岩）函数y?x?3的自变量x的取值范围是 . 2.（08黄冈）若点P(2，k-1)在第一象限，则k 的取值范围是 .
3.（08常州）点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为___________；关于原点对称的点的坐标为________.
4. 如图，葡萄熟了，从葡萄架上落下来，下面图象可以大致反映葡萄下落过程中的速度v随时间变化情况是（ ）
5.（06南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，3），则C点
的坐标是（ ） A．（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2） 〖大纲要求〗
1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。 平面直角坐标系知识回顾
一. 基本概念 1、有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对，叫有序实对，记作（a,b）.利用数对可以准确地表示出一个位置.(该数对是实数对)
2、常见的确定平面上的点位置常用的方法
（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置． （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置.
3. 平面直角坐标系的概念是建立在数轴基础上的，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，水平的数轴向右为正叫做x轴（横轴），铅直的数轴向上为正叫做y轴（纵轴）。x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面。
4. 坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，如图1，可以看成坐标平面的六个区域；x轴，y轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。（按逆时针顺序） 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限。
5. 平面内的点的位置由它的坐标确定。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
（1）平面内点的坐标是有序实数对，即表示点的坐标的两个实数是有顺序的，横坐标在前，纵坐标在后，位置不能颠倒，如图2中P点的坐标只能写成（a，b），而不能写成（b，a）；
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（2）坐标平面内的点与有序实数对一一对应，即对于坐标平面内的任意一点P都有惟一的有序实数对（a，b）与它对应；对于任意一对有序实数（a，b）在坐标平面内都能找到惟一的点P与它对应,a写在前，b写在后．
已知点P(x，y)，它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A(3，2)和B(2，3)表示两个不同的点． 点P在第一象限 点P在第二象限 象限内的点 点P在第三象限 点P在第四象限 a<0,b<0 a>0,b<0 a>0,b>0 a<0,b>0 a>0,b=0 x轴上点的纵坐标为零，即(x，0)，如果某点的坐标为(x，0)，则它点P在x轴正半轴上：坐标轴上的在x轴上．点P在x轴上：y=0, 点 点P在x轴负半轴上：a<0,b=0 b>0,a=0 y轴上点的横坐标为零，即(0，y)，如果某点的坐标为(0，y)，则它点P在y轴正半轴上：在y轴上点P在y轴上：x=0， 点P在y轴负半轴上：b<0,a=0 （3）点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|。
例M为X轴上方的点，到X轴距离为5，到Y 的距离为3，则M点的坐标为（ ）
A（5，3） B（-5，3）或（5，3）C（3，5） D（-3，5）或（3，5）解题思路：结合坐标系，注意不同的情况，选D 6.特殊点的坐标
第一、三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标相等，即(x，x)，如果点的坐标为(x，x)，则它必定在一、三象限角平分线上．
第二、四象限角平分线上点的横坐标和纵坐标互为相反数，即(x，－x)，如果点的坐标为(x，－x)，则它在二、四象限角平分线上．
原点的坐标是(0，0)，反之，坐标是(0，0)的点是原点． 例1当b=______时,点B(3,|b-1|)在第一.三象限角平分线上. 例2当b=______时,点B(3,b-1)在第二.四象限角平分线上.
解题思路：运用象限的角平分线上点的坐标特征，例1、|b-1|=3，b=4或-2；例2、b-1+3=0，则b=-2
7. 具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系；
（1）关于坐标轴或原点对称的两点，根据对称的性质，如图4，有 ①点P（a，b）关于x轴对称点坐标为P1(a,?b)； ②点P（a，b）关于y轴对称点坐标为P2(?a,b)； ③点P（a，b）关于原点对称点坐标为P3（?a,?b）。
（2）连线平行于坐标轴的两点，连线平行于x轴的两点的纵坐标相同，连线平行于y轴的两点的横坐标相同。 例 1、已知点A(1,2),AC∥X轴, AC=5,则点C的坐标是 _____________. 解题思路：平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，答案(-4,2)或(6,2) 例 3、已知点A(1,2),AC∥y轴, AC=5,则点C的坐标是 _____________. 解题思路：平行于y轴的直线上点的横坐标相同，答案(1,7)或(1,-3) 8．对称点
关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． 关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数．
如果一个点的坐标为(a，b)，那么这个点关于x轴、y轴、原点的对称点分别是(a，－b)、(－a，b)、(－a，－b)．它的逆命题亦成立．
例1、点M（5，－6）关于x轴的对称点的坐标是（ ）．（A）（－6，5）（B）（－5，－6）[（C）（5，6）（D）（－5，6） 例2、点N（a，-b）关于原点的对称点是坐标是（ ）.（A）（-a，b）（B）（-a，-b）（C）（a，b）（D）（-b，a）
解题思路：例1把点M（5，-6）和选项中的四个点都描在同一坐标系内，可发现只有点（5，6）和M点关于x轴对称，因此选C．
9. 在平面直角坐标系中，
（1）将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x?a,y)（或(x?a,y)）；
（2）将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y?b)(或(x,y?b))。其中，a?0,b?0。 10、用坐标表示平移
（1）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
（2）一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，如果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移。
（3）图形平移的特征：一个图形平移前后大小、形状完全相同，只是位置不同。 例1已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2,4),现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（ ）A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （-1，-1）
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11、用坐标表示的位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 12、用一个角度和一个距离确定点的位置
选择观测点为坐标原点，建立直角坐标系，令x轴的正方向为向东的方向，y轴的正方向为向北的方向，再由已知的角度确定被观察点所在的方向，再由距离确定其点的位置。 二. 中考例题分析讲解
例1. （20XX年韶关）在图5的直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连结起来。 （1）（2，0）、（4，0）、（6，2）、（6，6）、（5，8）、（4，6）、（2，6）、（1，8）、（0，6）、（0，2）、（2，0）； （2）（l，3）、（2，2）、（4，2）、（5，3）； （3）（1，4）、（2，4）、（2，5）、（1，5）、（1，4） （4）（4，4）、（5，4）、（5，5）、（4，5）、（4，4） （5）（3，3）。
观察所得的图形，你觉得它像什么？
分析：本题主要是考查学生正确的在平面直角坐标系中标出点的位置，再将各组内的点用线段依次连结起来。 解：如图5，像猫脸。
例2. （20XX年辽宁）某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图6所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标。
分析：本题是建立适当的坐标系，再写出各点的坐标。
解：平安大道所在的直线所在的直线为x轴，过D点垂直于平安大道所在的直线 为y轴建立平面直角坐标系，A（10，4） B（6，－4）C（－2，2.5） 例3. 如图，图7②至图7④中的图形均由图7①中的图形变换而得： （1）请写出图7①中点A、B、M、N的坐标；
（2）请写出图7②至图7④中与点A、B、M、N对应的点A'、B'、M'、N'的坐标； （3）与图7①对比，你能说出图7②至图7④中的图形发生了什么变化吗？
D（0，－3）
分析：正确的写出图7①中A、B、M、N各点的坐标以及图7②至图7④中A'、B'、M'、N'的坐标是探索图形变化后点的变化的关键。 解：（1）图7①中A、B、M、N各点的坐标依次为：（2，4）、（4，0）、（1，2）、（3，2）；
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（2）图7②中A'、B'、M'、N'各点的坐标依次为：（5，4）、（7，0）、（4，2）、（6，2）。 图7③中A'、B'、M'、N'各点的坐标依次为：（2，－4）、（4，0）、（1，－2）、（3，－2）。 图7④中A'、B'、M'、N'各点的坐标依次为：（4，8）、（8，0）、（2，4）、（6，4）； （3）图7①到图7②向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变； 图7①到图7③沿x轴对折，横坐标不变，纵坐标变为相反数；
图7①到图7④是以0为位似中心作出的位似图形，且相似比为2：1，纵、横坐标都变为其2倍。
例4. （20XX年南通通州暨20XX年济源）如图8，在直角坐标系中，第一次将?OAB变换成?OA1B1，第二次将?OA1B1变换成?OA2B2，第三次将?OA2B2变换成?OA3B3…
已知：A（1，3）、A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）；B（2，0）、B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0） 观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是_________，B5的坐标是_________。
分析：本题主要考查图形变换与坐标变化的规律，沿x轴向右平移后，纵坐标都没有改变，横坐标改变。 因此，A点的纵坐标不变，横坐标1?2，依次变为是2?2依次变为是4?22011、4?22、8?23、?、2n，B的纵坐标是0，横坐标是2?2，
、8?23、16?24、?、2n?1。
55?1?26?64，?A5(32,3)，B5(64,0) 解：?2?32,2例5. （20XX年成都）如图9，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为
“格点三角形”，图中的?ABC是格点三角形。在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）。 （1）把?ABC向左平移8格后得到?A1B1C1，画出?A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）、（3）略 分析：图形向左平移，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别减8其形状、大小不变。 解：B的坐标为（?1,?1），向左平移8格后得到B1(?9,?1) 【考点链接】
1. 坐标平面内的点与______________一一对应． 2. 根据点所在位置填表（图） 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3. x轴上的点______坐标为0, y轴上的点______坐标为0. 4. P(x,y)关于x轴对称的点坐标为__________，关于y轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________.
5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________． 6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________． 7.
y?x有意义，则自变量x的取值范围是 . y?1x有意义，则自变量x的取值范围是 .
【中考经典】
3. （20XX年金华）在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ▲ ）B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
14﹒（20XX年金华）如图， 在平面直角坐标系中， 若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是 ▲ .
y 2 1 -1 O -1 -2 -3 A B 1 2 3 C 4 5 x C1 B1 A1 (第14题图)
-4 答案：（3，-1）；
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（2010·珠海）3.在平面直角坐标系中，将点P（-2,3）沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是（ D） A.(-2,6) B.(-2,0) C.(-5,3) D.(1,3) 24. （20XX年金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以
3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交3
于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合；
（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）y??3x?33；………4分 （2）（0,3），t?y B B 9；……4分（各2分） 2y B M y P E H F P′ P′ E F l
A x E O P (图1)
F G A x
O （图2) A x O P (第24题 （3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1） ∵OE?FG,EP?FP,∠EOP?∠FGP?90° ∴△EOP≌△FGP，∴OP?PG﹒
又∵OE?FG?y B FG13,∴AG??t t,∠A?60°
3tan60032t 3 而AP?t，∴OP?3?t,PG?AP?AG?29 由3?t?t得 t?；
53 当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段BA上时，
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE?Q′ C1 D1 E C Q O P (图3) F B′ A x BEt33?3? t,∴BE?33?t,∴EF?0333tan6019?t， 又∵BP?2(t?6) EF?260 ∴MP?EH? 在Rt△BMP中，BP?cos60?MP 即2(t?6)?②存在﹒理由如下 ∵t?2，∴OE?19?t45，解得t?． ?26723,AP?2，OP?1 3将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B?EC（如图3）
中考数学第一轮专题复习教案
