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二次函数
【知识点一：二次函数的定义】
1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零． 2．二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
【典型例题】
1、下列函数中是二次函数的有（ ）
11222
①y = x＋；②y =3（x－1）＋2；③ y =（x＋3）－2x；④ y =2＋x．
xxA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、当m 时，函数y=(m-2)x+3x-5（m为常数）是关于x的二次函数．
m3、 当m=____时，函数y=(m-4)x22-5m+6+3x是关于x的二次函数．
4．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：
时间t（秒） 距离s（米） 写出用t表示s的函数关系式.
1 2 2 8 3 18 4 32 … … 【变式练习】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x+1 2、下列函数：① y=1x－2 21222② y=x-x(1+x)；③ y=x(x+x)-4；④ y=2+x； 3x2；xB．y=－2x+1
C．y=x2+2
D．y=
⑤ y=x(1-x)，其中是二次函数的是 ，其中a= ，b= ，c= ． 3、如果函数 y =（m＋2）x
m2?2＋2x－1是二次函数，则m= ．
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4、在圆的面积公式 S＝πr2 中，S 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系 5、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时， 拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2） 建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y??2x B．y?2x
221212C．y??xD．y?x2 2
【提高练习】
图6（1） 图6（2）
1、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
2、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
2
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm.
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【知识点二：抛物线】
22
1、二次函数y=x 与y=－x的图象都是____________，都是______对称图形．性质如下：
22函数 y=x y=－x 图象草图 对称轴 顶点坐标 开口方向 增减性 当x>0时，y随着x的增大而______； 当x>0时，y随着x的增大而_______； 当x<0时，y随着x的增大而______． 当x<0时，y随着x的增大而_______． 最值 当x为____时，函数y取得最____值 当x为____时，函数y取得最_____值 2、函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
3、函数y=－x2的图像是一条_________线，开口向______，对称轴是_________， 顶点是________，顶点是图像最_____点，表示函数在这点取得最_____值，它与函数y=x2的图像的开口方向________，（填“相同”或“相反”）对称轴________，顶点_______（填“相同”或“相反”）
【典型例题】
1、填空：（1）抛物线y?12x的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当2x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线y??12（或 ），顶点坐标是 ，当x 时，x的对称轴是 2y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ．
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2、对于函数y?2x下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称. 其中正确的是 . 3、抛物线 y＝－x2 不具有的性质是（ ）
A、开口向下
B、对称轴是 y 轴
C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点
2【变式练习】
11、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S＝gt2（g＝9.8），则 s 与 t 的函
2数图像大致是（ ）
s
O t
O s t
O s t
s O t
A B C D
2、函数y?ax与y??ax?b的图象可能是（ ）
2
A． B． C． D．
m3、已知函数y=mx2-m-4的图象是开口向下的抛物线，求m的值.
4、二次函数y?mx
m2?1在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.
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5、二次函数y??
32x，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系. 2【提高练习】
1、已知函数y??m?2?xm2?m?4是关于x的二次函数，求：
（1） 满足条件的m的值；
（2） m为何值时，抛物线有最低点? 求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大； （3） m为何值时，抛物线有最大值? 最大值是多少? 当x为何值时，y随x的增大而减小?
2、如果抛物线y=ax与直线y=x-1交于点(b,2)，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.
2
北师大版初中数学九年级下册《二次函数》教案
