ATHAS中能量方程的性质及现有解法
2.1 ATHAS能量方程性质
在ATHAS中，采用子通道的方法来模拟棒束内的单相和两相流动，沿轴向子通道又可以划分很多控制体。在轴向和横向方向上，子通道上的控制体与相邻控制体之间进行着各种质量、动量和能量交换。
图 2.1 能量方程的控制容积
图2.1为ATHAS能量方程控制容积示意图，图中i为子通道编号，j为轴向节点编号，k为子通道连接编号，qi,j(W/m2)为表面热流密度，qmixi,j(W)为表面能量交混项，hi,j(J/kg)为控制体比焓，F(kg/s)为轴向流量，W(kg/s)为横向
**(W?i ,j ( W流量，? Fh ? i, j ) 为轴向流动焓，? Wh ) 为横向流动焓，Ai,j(cm2)为控制
体横截面面积，?xj(cm)为控制体轴向长度，?i,j(g/cm3)为控制体中冷却剂密度。图2.1显示出表示能量方程的变量，则控制体能量方程的具体形式如下[3]：
混合物能量方程：
Ai,j?xj?ni,j(h- hn)i,j?t*- hi,j(Fi,j - Fi,j-1) + Di,k(Wlh*l + Wvhv)k,j- hi,jDi,kWk,j- ?i,nqwn,j + Di,kqmixk,j = 0*** + (Flh*l)i,j - (Flhl)i,j-1?(Fvhv)i,j - (Fvhv)i,j-1 (2.1)
液相能量方程：
n* + (Flh*l)i,j - (Flhl)i,j-1- hli,j(Fli,j - Fli,j-1) Ai,j?xj(??)li,j? t (2.2) *+ (?i,nqwln,j + Di,k(?lqlmix)k,j = 0WhDi,kll)k,j - hli,jDi,kWlk,j - qili,j -
(hl - hln)i,j
汽相能量方程：
n* + (Fvh*v)i,j - (Fvhv)i,j-1- hvi,j(Fvi,j - Fvi,j-1) Ai,j?xj(??)vi,j ? t (2.3)
* + ?i,nqwvn,j + Di,k(?vqvmix)k,j = 0Di,k(Wvhv)k,j - hvi,jDi,kWvk,j - qivi,j -
n(hv - hv)i,j
其中Ai,j、?xj和qi,j由初始条件给定，qmixi,j通过本构方程解得，F、W通过动量守恒方程和质量连续方程解得，因此能量方程只是焓h的函数，因此控制体所包含的混合物和相的能量方程可以简写为：
混合物能量方程： Em(hm,hl,h?)?0 (2.4) 液相能量方程： El(hm,hl,h?)?0 (2.5) 蒸汽能量方程： E?(hm,hl,h?)?0 (2.6)
其中hm(J/kg)为混合物焓，hl(J/kg)为液相焓，hv(J/kg)为汽相焓。若将能量方程用Newton迭代法进行求解，对于单个独立控制体能量方程写成Newton解法的矩阵形式为：
??Em?Em?Em? ????hm???Em??hv???????hm?hl
?????El?El?El?? ? ? ? ? ? E l ? (2.7) ? h l ? ??hv???????hm?hl ?????E?E?E??vvv??h???E??? ?v??v???h??m?hl?hv?
其中?Em，?El，?Ev为初始估计值残差，?hm，?hl，?hv分别为Newton迭代法中混合焓、液焓和汽焓的修正值。则能量方程的迭代解为：
hm??hm? hm (2.8)
hl??hl?hlhv??hv?hv
(2.9)
(2.10)
现考虑在某一燃料组件上共划分n个相互平行的子通道，则在同一横向截面
k上共有n个控制体，各子通道的控制体之间存在着相互影响，将位于同一截面控制体的能量方程进行联立，联立后方程的矩阵形式为：
???Em?Em?Em? ????h?h?hmlv??????El?El?El? ????h?h?hlv???m???E?Ev?Ev?v ?????h?hl?hv???m?1(k),1(k)?????Em?Em?Em??? ????h?h?hmlv????El?El?El??? ????h?h?hmlv????Ev?Ev?Ev??? ???h???hl?hv?m??n(k),1(k)??
????hm?????Em????Em?Em?Em? ????????????h?h?hlv???????????m????hl?????El????El?El?El? ????????????h?h?h??????lv?????m????E???????E?hv??Ev?Ev????v?1(k)?v1(k)??? ?????h?hl?hv?????m?1(k),n(k)???????????? ? ????????????Em?Em?Em?????? ??????hm?????Em???hl?hv???hm???????????El?El?El?????????? ??????hl?????El???hl?hv???hm???????????E??E?E???vvv?????? ????h??????????hl?hv??m?n(k),n(k)????hv?n(k)????Ev?n(k)??????(2.11)
上述（2.11）式便是ATHAS模拟的堆芯组件某一横向截面k上所需求解的能量方程，是一类大型线性方程组，该方程组的性质由其系数矩阵决定。方程组系数矩阵含有3n2?3n2个元素，由n2个矩阵块组成，每个矩阵块包含3?3个元素，矩阵块标号i?k?j?k?表示这个矩阵块的元素是第i个子通道的能量方程E对第j个子通道焓值h的偏微分，其中i,j??1,2,,n?。
在ATHAS实际模拟过程中，给定子通道入口的流量、温度及出口的压力等边界条件作为守恒方程的初始条件。初始流动条件决定每个子通道的能量方程E只受自身及周围子通道的焓值h影响，离其较远子通道的焓值对其能量方程无影响，可以看作常量，即偏微分为零，例如图2.2中20号子通道的能量方程E只是20号子通道本身以及12、19、21、28号这5个子通道焓h的函数，与其他子通道无关，这使得能量方程的系数矩阵中非零元素所占比例极小且几乎只分布在主对角元附近的矩阵块中，实际上系数矩阵结构为5对角矩阵如图2.3所示，图中坐标为矩阵块坐标。而且在这些矩阵块中，同相的能量方程和焓之间联系较大，偏微分数值远大于其它非零元素，其中每个子通道能量方程对自身同相焓的偏微分值最大，这又使得系数矩阵为严格对角占优矩阵，一般矩阵的主对角元是接近
1的正实数。
图 2.2 8?8子通道截面示意图
19172533414957210182634425058311192735435159412202836445260513212937455361614223038465462715233139475563816243240485764
图 2.3 8?8子通道能量方程系数矩阵结构图
综上所述，在ATHAS中所需求解的能量方程的系数矩阵是一类非对称且严格对角占优的大型稀疏矩阵。因此，能量方程是一类非对称的大型稀疏线性方程
组。
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