?26?k2?1?1?3k2，
2FN61?3k???；
AB26?k2?1?62?k2?1?1?3k2综上所述：【点睛】
本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解；求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示出所求值，通过化简消元得到定值.
21．已知函数f(x)?alnx?x，其中a为常数. （1）讨论函数y?f(x)的单调性；
（2）当a?e（e为自然对数的底数），x?[1,??)时，若方程f(x)?不等实数根，求实数b的取值范围.
【答案】（1）当a?0时，f?x?在?0,???上单调递减；当a?0时，f?x?在?0,a?上单调递增，在?a,???上单调递减；（2）?1,1?
【解析】（1）分别在a?0和a?0两种情况下，根据f??x?的正负确定f?x?的单调性；
FNAB为定值6. 6(b?1)x有两个x?1?e?x?1?lnx?x2（2）将问题转化为当x??1,???时，g?x??与y?b有两个不同交
x点的问题，通过导数可求得g?x?的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定b的范围. 【详解】
（1）由题意得：f?x?定义域为?0,???，f??x??aa?x?1?， xx当a?0时，f??x??0，则f?x?在?0,???上单调递减； 当a?0时，令f??x??0，解得：x?a，
?当x??0,a?时，f??x??0；当x??a,???时，f??x??0，
?f?x?在?0,a?上单调递增，在?a,???上单调递减.
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综上所述：当a?0时，f?x?在?0,???上单调递减；当a?0时，f?x?在?0,a?上单调递增，在?a,???上单调递减. （2）当a?e时，elnx?x??b?1?x有两个不等实根，方程可化为
x?1e?x?1?lnx?x2， b?xe?x?1?lnx?x2?x2?ex?e?elnx令g?x??，则g??x??， 2xxe?2x2?ex?e令h?x???x?ex?e?elnx，则h??x???2x?e??，
xx2当x??1,???时，?2x2?ex?e??2?0，即h??x?<0?h?x?在1,???上单调递减， ??h?x??h?1???1?2e?2e?1，且h?e???e2?e2?e?e?0
?h?x?在?1,???上有且仅有一个零点x?e，
?当x??1,e?时，h?x??0，h?x??0，即g??x??0；当x??e,???时，即g??x??0，
?g?x?在?1,e?上单调递增，在?e,???上单调递减， ?g?x?max?g?e??e?1?e?1，g?1???1，
由此可得g?x?图象如下图所示：
则当x??1,???时，方程f?x???b?1?x有两个不等实数根等价于当x??1,???时，
x?1g?x?与y?b有两个不同交点，
由图象可知：b???1,1?.
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【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；求解方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为两个函数图象交点个数的求解问题，利用数形结合的方式求得结果.
22．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
（1）规定第1次从小明开始．
（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望． （2）若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn．
27391?1?【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）见解析，（2）Pn?????
16642?2?【解析】（1）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为
n91?，364前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数X的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可；
（2）若第1次从小芳开始，则第n次由小芳投掷骰子有两种情况：1.第n?1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，2.第n?1次由小明投掷，第n次由小芳投掷. 【详解】
（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为
91?． 364（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，
P?13133331339?????????． 44444444464（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，依题意，X可取0，1，2，3， 所以P(X?0)?1111???，44464P(X?1)?33113311321?????????， 44444444464P(X?2)?393113，P(X?3)????． 6444464第 18 页 共 19 页
所以X的分布列为
X 0 P
1 2 3 121393 64646464所以E(X)?0?12139327． ?1??2??3??6464646416（2）若第1次从小芳开始，则第n次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第n?1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为Pn1?②第n?1次由小明投掷，第n次由小芳投掷， 其概率为Pn2??1?1Pn?1(n…2)； 4??1?331?P??Pn?1(n…2)． ??n?1?4?44因为①②两种情形是互斥的，所以
Pn?Pn1?Pn2?所以Pn?13313Pn?1??Pn?1??Pn?1?(n…2)， 4442411?1?1?1?P????Pn?1??(n…2)．因为P?1，所以?n?是以为首项， 12?22?2?2?n?11111??为公比的等比数列，所以Pn??????222?2?【点睛】
1?1?，即Pn?????．
2?2?n本题考查随机变量的分布列与数列综合应用，涉及到利用递推数列求通项公式，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的综合题.
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2020届 全国100所名校 最新高考模拟示范卷(一)模拟测试试题(解析版)
