that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮个包裹对宇宙未来的预言，其关键问题在于宇宙的平均密度是多少。作者认为宇宙的未来会有两种可能成王封伯禽于鲁。周公①诫子曰：往矣，子无以鲁国骄士。吾文王之子，武王之弟，成王之叔父也，又相天子，吾于天下亦不轻矣。然一沐三握发，一饭三吐哺，犹恐失天下之士。第7讲 立体几何中的向量方法（一）
一、选择题
1．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
解析两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直． 答案B
35?15???2．已知a＝?1，－，?，b＝?－3，λ，－?满足a∥b，则λ等于( )． 22?2???2992
A.B.C．－D．－ 3223
35
2219
解析 由＝＝，可知λ＝.
－3λ152
－2
－
答案 B
3．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )．
?1?A.?，－1，－1?B．(6，－2，－2) ?2?
C．(4,2,2) D．(－1,1,4)
→→→→→→
解析 设平面α的法向量为n，则n⊥AB，n⊥AC，n⊥BC，所有与AB(或AC、BC)平行的→→
向量或可用AB与AC线性表示的向量都与n垂直，故选D. 答案 D
4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面
BED的距离为( )．
A．2 B.3C.2D．1
解析 连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝22，又CC1＝22，所以OH＝2sin 45°＝1. 答案 D
5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，
that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮个包裹对宇宙未来的预言，其关键问题在于宇宙的平均密度是多少。作者认为宇宙的未来会有两种可能成王封伯禽于鲁。周公①诫子曰：往矣，子无以鲁国骄士。吾文王之子，武王之弟，成王之叔父也，又相天子，吾于天下亦不轻矣。然一沐三握发，一饭三吐哺，犹恐失天下之士。b，c三向量共面，则实数λ等于( )．
62636065
A.B.C.D. 7777
解析 由题意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
?
∴?5＝－t＋4μ，??λ＝3t－2μ
?7＝2t－μ
??17
∴?μ＝
765?λ＝?7
33t＝
7
.
答案 D
→1→→
6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|
2为( )． A.
2161515aB.aC.aD.a 6663
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
a??则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N?a，a，?.
2??
设M(x，y，z)，
→1→
∵点M在AC1上且AM＝MC1，
2
1
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
2
2aa∴x＝a，y＝，z＝.333
→
∴|MN|＝ ?2aaa?得M?，，?，?333?
?a－2a?2＋?a－a?2＋?a－a?2＝21a.?3??3??23?6??????
答案 A
二、填空题
8
7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
98a·b2－λ＋4
解析 由已知得＝＝，
9|a||b|5＋λ2·9
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∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
552
答案 －2或 55
8．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离． ∵PA＝PB＝PC， ∴H为△ABC的外心． 又∵△ABC为正三角形，
?aaa?∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为?，，?.
?333?
∴PH＝
?0－a?2＋?0－a?2＋?0－a?2＝3a. ?3??3??3?3??????
3
a. 3
∴点P到平面ABC的距离为答案
3a 3
9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.
解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±?0，
??22?，－?. 22?
答案 ±?0，
??22?，－? 22?
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则→→
满足MQ＝λMN的实数λ的有____________个．
解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，
y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为?
?x＋1，y＋1，1?，
?2?2?
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∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ. 答案 2 三、解答题
11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
a，b，c.
解 因为a∥b，所以
x41
＝＝， －2y－1
解得x＝2，y＝－4，
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因为b⊥c，
所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
12．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE. 则N?2??2
，，0?，E(0,0,1)， 2?2?
2?2?
，，1? 2?2?
A(2，2，0)，M?
→?22?
∴NE＝?－，－，1?.
2?2?→?22?
AM＝?－，－，1?.
2?2?
→→
∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE.
→?22?
(2)由(1)知AM＝?－，－，1?，
2?2?∵D(2，0,0)，F(2，2，1)， →
∴DF＝(0，2，1) →→
∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.
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又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
13．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、
PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、
z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、
?a?P(0,0，?aaa?B(a，a,0)、C(0，a,0)、E?a，，0?、a)、F?，，?.
?
2
??222?
→?aa?→
EF＝?－，0，?，DC＝(0，a,0)．
2??2→→→→
∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD.
→?aaa?(2)解 设G(x,0，z)，则FG＝?x－，－，z－?，
22??2若使GF⊥平面PCB，则由
→→?aaa?a?a?FG·CB＝?x－，－，z－?·(a,0,0)＝a?x－?＝0，得x＝；
22?2?2?2?→→?aaa?由FG·CP＝?x－，－，z－?·(0，－a，a)
22??2a2?a?＝＋a?z－?＝0， 2?2?得z＝0.
?a?∴G点坐标为?，0，0?，即G点为AD的中点．
?2?
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，
AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
解 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，
C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，
P(0,0，h)．
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→→→
(1)易知CD＝(－4,2,0)，AE＝(2,4,0)，AP＝(0,0，h)．
→→→→因为CD·AE＝－8＋8＋0＝0，CD·AP＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
→→
(2)由题设和(1)知，CD·PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE 所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|，
→??→→??→CD·PB?＝?PA·PB?.即?→??→→??→
?|CD|·|PB|??|PA|·|PB|?
→→→→
→→
由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)，
→
又PB＝(4,0，－h)，
?－16＋0＋0??0＋0＋h2?故??＝??.?25×16＋h2??h×16＋h2?
85
解得h＝.5
1
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，
2
11851285
所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.33515
2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法一理
