圆重难点突破心
心外
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前言：
元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。
第1个问题 内心、外心知多少
【2013元调 第10题】
如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）
A、?AIB??AOB B、?AIB??AOB
C1C、2?AIB??AOB?1802分析：
1 D、2?AOB??AIB?1802I
OBA外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点
三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。 内心：圆在三角形内，与三边都相切
三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ∠AIB和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C， ∠AIB=180°?（∠IAB+∠IBA）=180°?
C111（∠A+∠B）=180°-∠C）=90°+∠C ?（180°222CI
AOBAAB外心和内心的考查很频繁
外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则∠BEC=∠BOD
EODCB ②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积
111（1）?BOC?90??A,?BOA?90??C,?AOC?90??B
2221（2）SABC?(a?b?c)r，a、b、c为三边长，r是内切圆的半径
2ADOBECF当?BAC?90时，四边形ADOF为正方形，r?a?b?c 2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2
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【例题1】如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，连接PI交⊙O于点M，IN⊥BP于N，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=
2IM；③∠BIM=∠BAP；
P452IN?OB④ =
2PM；其中正确的个数有________________
NA、1个 B、2个 C、3个 D、4个 分析：
①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼
想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP是直角三角形 ②I为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI平分?APB，所以∠APM=45°。
圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意
IAxx45BM 弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里?APM??BPM，则AM=BM 则△AMB为等腰直角三角形，AM=BM，AB=③欲证AB=
PNI2AM
x2IM，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。令?IAB??IAP?x，则
Ax45B ?IAM?45?x,?AIM?45?x（内心性质、外角等于不相邻2内角之和） ④对于∠BIM=∠BAP这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别， 若P在AB中点处，显然∠BIM=∠BAP不成立
⑤式子看起来很复杂，看见2联系等腰直角三角形。本题的主线是 内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点M作AP、BP
PNIACDOBM2 边的垂线，易证PCMD为正方形。AB=2OB，则IM=AM=AB，
2而AB=2OB，所以IM=2OB，又PI=2IN，所以 PM=2（IN+OB），证毕
M【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ）个 ①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°； ②若O是△ABC的，∠A=50°，则∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12； ④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；
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A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 分析：
①第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释； ②第3个结论，有一定难度
方法1：勾股定理
由图知：底边BC一定，则AE最大时，△ABC的面积的最大 令AB=a，BE=b，则AC=10?a，CE=6?b
AOBCDE2222由于AB?BE?AC?CE，则a2-b2?(10-a)2-(6-b)2，解得 a?22316b? 553161616?916222因为a-b?(b?)?b??(b?3)??2 不用具体算出来，当b=3时，有最大值
5525255即AD?
方法2：海伦－秦九韶公式，如果你记得住的话： S? 令AB=x，则AC=10?x，由题知P=8，则 S?8(8?6)(8?x)(x?2)?4(8?x)(x?2)?4?
【训练题】
1、如图，O是△ABC的，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ ） A、EF＞AE+BF B、EF＜AE+BF C、EF=AE+BF D、EF≤AE+BF
2、已知，如图，点E是△ABC的内心，延长AE交△ABC 的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，则
图中与BD相等的线段分别是____________________
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BDECAa2?b2取最大，此时△ABC为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4
P(p?a)(p?b)(p?c),p?a?b?c 28?x?x?2?12（也可以用配方法）
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3、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，
A则∠BPC=___________
PBCD4、如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于
F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__________
5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI
的值为_______________
CAEDOBFC
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BOA
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圆重难点突破内心外心备课讲稿
