由 Cauchy 不等式知 f ( x, y, z)
x2 1 x x
y2 1 y z)
z2 1 z u
3
(x 3 x
y z) 2
y
z
u
2
(记 u
y
9 u
3
6
3 u
到此，在 u＞0 的情况下，力图使用函数
f ( x)
x
1 x
的性质无法得到最小值。
思路二：考虑到题目的条件是
z 用 a、 b、c 表达的式子：
6 个变量的 3 个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出 x、y、
x
b
2
c a ;y 2bc
22
c
2
a2 - b2 ; 2ca
z
a2 b 2 - c2
2ab
因为 a、 b、 c； x、 y、z 都是正数，所以，
a2 b2 c2 0; b2 c 2 - a2 0; c2 a2 - b 2
0
到此，似乎胜利的曙光就在眼前，
立刻想到在区间
4, 9
内使用函数 f ( x)
x
2
1 的性质， 但也无法得到 x
cos2 C
1 cosC
最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值
0 1
2
（由于函数 f (x, y, z)
的对称性，可以猜测其最小值在
A=B=C=60 时达到 ）吻合，实际上，这是一条无用的信息 （表明使用 Cauchy
1cos2 A cos2 B 1 cos A 1 cos B
2
不等式过当！），它是答题人再次陷入不能自拔的困境。
俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用 Cauchy 不等式，需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。
二．赛题的解答
为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。 引理：在△ ABC 中，求证：
2
tan A
2
2tan
B
tan
2
C
2 2
2 8 sin sin sin
2 2 2
A
B
C
①
等号成立的条件是△
ABC为等边三角形。
证明：用向量方法证明如下
设 i , j , k 是平面上的单位向量，且 j 与 k 成角为π -A, k与 i 成角为π -B,
i 与 j 成角为π -C, 那么，
(i tan
A
j tan
B
k tan ) 2
C20 , 所以
2
2
2 tan 2
tan A
2
B
2
tan
C
2 tan tan cosC 2 tan tan cos A 2 tan tan cos B
2 2 2 2 2 2 2 tan tan (1 2sin C ) 2 tan tan (1 2sin ) 2 2 2 2 2 2
2A
B
2 2
B
C
C
A
ABBC2A
2 tan tan (1 2sin 2 B ) 2 2 2
CA
2 tan
A 2 A
tan
B
tan
C
B 2
tan
C
tan tan
C 2
A
2
B
sin
sin
A
2
2 sin
B
4sin
ABcos cos cos cos cos cos 2 2 2
2 2 2 2 2 2
A B C sin A sin B sin C
2 4sin sin sin
ABC
2 2 2 2 cos cos cos
2 2 2
ABC2 8sin sin sin .
2 2 2
tan tan 2
sin (
B
2
CC
2
sin
C
2
A
)
注意到，在△ ABC 中有熟知的等式：
AB
tan tan 2
BC
tan tan
2
C
A
1 .
从而①得证。
2
2 2
有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。 解：同思路二得到，以 令 x
a、 b、 c 为对应边可以构成一个锐角△
ABC，
cos A, y cos B, z cosC , 从而
f ( x, y, z)
cos 2 A 1
cos2 B
cos2 C
1 sin 2 A
1 sin 2 B
1 sin 2 C
cos A
1 cos B 1 cosC
1 4 sin
2
A2
cos A 2 2
21 4 sin cos 1 4sin cos
2 2 2 2
2 cos
2B
2B
A
2 cos 2
2
2C
B
2 cos
2
2
2cos
2 2CC 2
2 cos A
2
sin
2
2
2B
A
cos A 4 sin cos A
2 2 2
22
A2
22
2 cos2 C
2
2
sin B
2
cos 4sin cos2 B
2 2 2
2 cos
2
B
2B
sin
2
C
2 cos A
2
22
B
cos
2
C
4sin 2C
2
2
2
2
2cos2 C 2
cos2 C
2 2
3
2 3 2 3 2 1 2
1 (tan A tan 2 B 2 2 2 1 (tan A tan 2 B 2 2 2
2
tan2 C
)2(sin 2A
sin 2
2
tan2 C
2
)1 (2 8sin sin sin ) 2(1 2sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2
0
AB
C
2
2(1 2sin sin sin )
2 2 2
AB
B sin )
2 2
C
C
ABC
等号成立的条件显然是 所以， f ( x, y, z)
A=B=C=60时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。
x 2
1 x B
y 2 1 y z2 的最小值为 . 1 z 2
1
显然，在
A C
600 时，等号成立，所以
f (x, y, z) 的最小值为 1 .
2
三．背景探索
早在 1994 年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题： 在△ ABC中，是否有：
cos2 A
sin 2 B
cos2 B
sin 2 C
cos2 C
1 ②
sin 2 C
sin 2 A sin 2 A sin 2
B 2
后来，湖南师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文 请看证明：分两种情况
[1] 曾证明了这一猜想。
（ 1）当△ ABC为钝角三角形时，此时不妨设
所以 sin 2 A
2A＞900， 于是 a b 2 c2 ，
sin 2 B sin 2 C 2 cos2 B cos2 C , ∴ cos2 B cos2 C 1 cos2 A
再据
sin A＞ sin B , sin A＞ sin C ，所以，
cos2 C
cos2 A cos2 B
222222sin B sin C sin C sin A sin A sin B
22cos A cos C
2222sin B sin C sin A sin B
cos2 A cos2 C
sin 2 A sin2 C sin 2 A sin2 B cos2 B cos2 C
2 sin 2 A
1 2
即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第
第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序（并 加试题可以看作是由解方程组（初中知识的要求）
2 题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在②的
由此判断△ ABC为锐角三角形）罢了，即今年的这道
，判断三角形种类、与求最值（高中知识的要求）三个
问题的简单合成（串联） 。
顺便指出，①的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文 [2] 等刊物上讨论过几年的一个结论。
四．条件等式的几何解释
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
