当1 3
1
1
3
1
1 x
1 ,
2
x0
2 时，EF 方程为： 2 y ( 4 2
4
1
3) x 2
4 2
, CD
方程为：
x
2 ，联立解得 y
1 .
12
也在 P 点轨迹上 . 因 C 与 A 不能重合，∴
x0 1,
x 2 .
∴所求轨迹方程为
y
12
3 (3x 1) 2 (x
).
3
3 1), D ( 1 ,0), 故 D 是 AB的中
解二：由解一知，
AB 的方程为 y
2x 1, B(0, 点 .
CD
2
令
, t1 CA 1 1, t2
CB
1
2 , 则 t1
t 2 3. 因为 CD为 ABC 的中线，
CP CE
CF
S
CAB
2S
CAD
2S CBD
.
而S
CEF
1 CE CF S
CEP 1 1 1
S CFP
S2S
2S
(
)t
1 t2 3 ,
3 ,
P 是
t1t 2
CA CB
CAB
CAD
CBD
2 t1
t 2
2t1t 2
2t1t 2
2
ABC 的重心 .
设 P( x, y), C ( x0 , x02 ), 因点 C 异于 A，则
0
故重心 P 的坐标为
x 1,
x
0 1 x0
3
1x0 ,( x3
2 ), y 3
2
故所求轨迹方程为
y 1 (3x 1) (x
3
23
1 1 x02 x02 , 消去 x0 , 得 y
3 3 ).
1 (3x 1) 2 .
3
2024 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
一、（本题满分 50 分）
如图，在△ ABC中，设 AB>AC，过 A 作△ ABC的外接圆的切线 l ，又以 A 为圆心， AC为半径作圆分别交
线段 AB 于 D；交直线 l 于 E、 F。
证明：直线 DE、 DF 分别通过△ ABC的内心与一个旁心。
（ 2）再证 DF过△ ABC的一个旁心 .
连 FD并延长交∠ ABC的外角平分线于 I 1，连 II 1、 B I 1、 B I ，由（ 1）知， I 为内心， ∴∠ IBI 1=90° =∠EDI1，∴ D、 B、 l 1、 I 四点共圆， ∵∠ BI l 1 = ∠ BDI1=90°－∠ ADI1
=（ ∠BAC+∠ ADG）－∠ ADI= ∠ BAC+∠ IDG，∴ A、 I 、I 1 共线 .
11
2
I 1 是△ ABC的 BC边外的旁心
二、（本题满分 50 分）
2
设正数
、 b、 c、 、 y、z 满足
a
x
cy bz a, az cx b; bx ay c.
求函数 f (x, y, z) x2 y 2 z2
的最小值 .
1 x
1 y
1 z
求函数 f (cos A 、 cosB 、 cosC ） = cos2 A
cos2 B cos2 C 的最小值 .
1 cos A
1 cos B 1 cosC
令 u cot A,v cot B, w cot C, 则 u, v, w R ,uv
vw wu
1,
且
2
1 (
)( ), 2 1 ( )( ), 2 1 ( )( ).
u
u v u w v u v v w w u w v w
u2 cos2 A
u 2 1
u 2
u 2 ( u 2
1 u)
1 cos A 1
u
22
u 1( u
1 u)
u 2 1
u 2
1
u 2 u 3
2
u3
u 2 u
3
(1
1
u
),
u2
1
(u v)(u w)
2 u
v u w
同理， cos2
B
v2
v 3 ( 1 1 ), cos2 C w 2 w3 ( 1 1 ).
1 cos B
2 u v u w 1 cosC
2 u w
v w
f u
2
v2
w
2
1 ( u 3
v 3
v3 w3
u3
w3
) u 2 v2
w
2
1
[( u 2
uv v2 )
2 u v
v w
u w 1
2
+ (v
2
vw w 2 )
(u
2
uw
w 2 )]1
(uv vw
uw)
. （ 取 等 号 当 且 仅 当 u
v w ，
2
2
此 时 ，
a b c, x
y
z
1
2
), [ f ( x, y, z)] min 1 .
2
三、（本题满分 50 分）
0
对每个正整数 n，定义函数 f (n)
[
{ n}
1
当 n为平方数 , ]当 n
不为平方数 .
240
（其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数， { x}
x [ x]). 试求：
k 1
f ( k) 的值 .
示例如下：
j
i
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
*
* *
* *
* *
* *
*
*
*
*
n
n
2k
i 1
f ( a )
T ( j )
i 1 j 1
n T
[ (1) T (2)] ( n 1)[ T (3) T ( 4)]
[ T (2 n
1) T ( 2 n )]
??②
256
15
由此，
k
1
f ( k)
(16
k)[ T (2k 1)
T (k)] ??③
k 1
ak
1 3
T (2k 1)
2 5
n
T (2k), k
4 6
15
1,2, ,15, 易得 ak 的取 情况如下：
6 8
k
3 6
5 7
7 6
8 9
9 8
10 8
11 8
12 10
13 7
14 10
15
ak
10
16
因此，
k
f ( k)
1
(16 k )ak 783 ??④
k 1
2024 年全国高中数学 加 第 2 的探
本文 2024 年的全国高中数学 加 第
2 的解法及来 作以探 ，供感 趣的 者参考。
目 ： 正 数 a 、 b 、 c 、 x 、 y 、 z足 cy bz a ； az cx b;
bx ay c ， 求 函 数
f ( x, y, z)
x2 1 x 1
y2
y
z 1
2
的最小 。
z
一．几种迷茫思路的分析
道 目初看起来比 平易， 人一种立刻想到直接使用
是一个极大的 区，本 的 度和技巧正好在 里 置了 好的陷阱。
思路一：
Cauchy 不等式的通 思路的惊喜， 殊不知，
2024年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
