2019年
地球卫星处于完全失重状态.
考点 天体质量和密度的计算1.自力更生法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝.
(3)Gm＝gR2称为黄金代换公式. 2.借助外援法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝m得天体的质量M＝.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度.
[典例6] (2017·广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为探测器在靠近火星表面轨道做圆周运动的周期是T，探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以v0的初速度竖直反弹上升，经t时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变.已知引力常量为G，试求：
(1)火星的密度； (2)火星的半径.
[解析] (1)设火星的半径为R，火星的质量为M，探测器的质量为m，探测器绕火星表面飞行时，有G＝mR，①
可得火星的质量M＝，② 则根据密度的定义有ρ＝＝＝.
(2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有
G＝mg′，③
根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回
2019年
抛出点的时间t＝得火星表面的重力加速度g′＝，④
将②④代入③得R＝. [答案] (1) (2)2π2t
[变式1] (多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )
A.轨道半径越大，周期越长 B.轨道半径越大，速度越大
C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
答案：AC 解析：设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球运动的半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π，r越大，T越大，选项A正确；由G＝m知v＝，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr 和ρ＝得ρ＝，又＝sin ，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误.
1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
2.区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径.
考点 宇宙中双星及多星模型1.双星模型
(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等.
(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的.
(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.
2.三星模型
v0T2
2019年
甲
(1)如图甲所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动.这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡.运转
的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma向.
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等.
(2)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周
运动.每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供.
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等.
乙
考向1 双星模型的计算
[典例7] 2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示.此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假
设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
A.它们做圆周运动的万有引力保持不变 B.它们做圆周运动的角速度不断变大
C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大 D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
[解析] 对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝G，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G＝M1ω2r1，G＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、
D错，C对. [答案] C
2019年
考向2 三星模型的计算
[典例8] (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运
动，万有引力常量为G，则( )
A.每颗星做圆周运动的线速度为 B.每颗星做圆周运动的角速度为 C.每颗星做圆周运动的周期为2π
Gm
R3GmR3R33Gm
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
[解析] 每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，
故A、B、C正确. [答案] ABC
[变式2] (多选)美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他
恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行.设每个星体的质量均为M，忽略其他星体对它们的引力作用，则( )
A.环绕星运动的角速度为B.环绕星运动的角线度为C.环绕星运动的周期为4πD.环绕星运动的周期为2π5GM R35GM 4RR3 5GMR3 GM
答案：BC 解析：环绕星做匀速圆周运动，其他两星对它的万有引力充当向心力，
即G＋G＝M＝Mω2R＝M2R，解得v＝，ω＝，T＝4π，B、C正确，A、D错误.
2019年
1.双星模型的重要结论
(1)两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比＝.
(2)双星的运动周期T＝2π. (3)双星的总质量m1＋m2＝.
2.多星问题的解题技巧
(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等.
(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力
提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供.
(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同
的，不能误认为一样.
1.[开普勒定律的应用]地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它
下次将在哪一年飞近地球( )
B.2052年 D.2072年
A.2042年C.2062年
答案：C 解析：根据开普勒第三定律＝k，可得＝，且r慧＝18r地，得T慧＝
54T地，又T地＝1年，所以T慧＝54年≈76年，故选C.
2.[天体质量的计算]观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示.已知引力常量为G，“嫦
娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( )
B. D.
l
Gθt2
A.2πC.
答案：B 解析：“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为v＝，角速度为ω＝；根据线速度和角速度的关系式：v＝ωr，可得其轨道半径r＝＝；“嫦娥三号”
2020高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力定律及其应用教案
