高考数列求和解题方法
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高考数列求和解题方法大全
数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?q3、
n11Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)
26k?1k?1n例1． 已知log3x?解：由log3x??1，求x?x2?x3?????xn????的前n项和. log23?11?log3x??log32?x?， 由等比数列求和公式得 log232n11(1?n)x(1?x)2＝1－1 Sn?x?x2?x3?????xn=＝211?x2n1?2二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例2． 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
当x?1时，Sn?1?3?5?7????2n?1??当x?1时
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn……………② （设制错位）
①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)?1??2n?1??n?n2
2例3.已知a?0,a?1，数列?an?是首项为a，公比也为a的等比数列，令
bn?an?lgan(n?N)，求数列?bn?的前n项和Sn。
解析：
①-②得：(1?a)Sn?(a?a2???an?nan?1)lga
?Sn?alga1?(1?n?na)an。 2(1?a)??点评：设数列?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则数列?anbn? 的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
1例4．函数f(x)对任意x?R，都有f(x)?f(1?x)?。（1）求f()和
2121n?1f()?f() nn的值；（2）数列?an?满足：an?f(0)?f()?f()???f(1n2nn?1)?f(1)，数列n?an?是
等差数列吗请给与证明。（3）bn?44an?1，Sn?32?16，n222Tn?b1?b2???bn试比较Tn与Sn的大小。
111n?1111)?f()?f(1?)?
24nnnn212n?1（2）?an?f(0)?f()?f()???f()?f(1)
nnnn?1n?221∴an?f(1)?f()?f()???f()?f()?f(0)
nnnn1n?11∴2an?f(0)?f(1)?f()?f()???f(1)?f(0)?(n?1)
nn2n?1∴an?
4解：（1）令x?,可得f()?，f()?f(12（3）bn?，Tn?16(1?4n111111????)?16(1?????) 2221?22?3(n?1)?n23n四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例5．求数列的前n项和：1?1,?4,111?7,???,?3n?2，… 2n?1aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
22
1na?a1?n(3n?1)n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a1?例6． 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2k3?3k2?k)
k?1k?1nn将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝2?k?3?k??k （分组）
32k?1k?1k?1nnn＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)2(n?2)??＝＝ 2222五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
sin1??tan(n?1)??tann? （1）an?f(n?1)?f(n) （2）??cosncos(n?1)(2n)2111111?1?(?) ??（3）an? （4）an?(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n(n?1)nn?1（5）an?(6)an?1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111?n??n??,则S?1? nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n例7． 求数列解：设an?
11?21,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
n?n?1?n?1?n （裂项）
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