?????再根据初始条件：??0,???0确定C?0，由此可得?根据动能定理有：
l?sin? ?5r11122?2?1mv2?1ml2??mAvA?mAr2??mglsin?ABCAB242242 （C）
122 ?, v2?r2??2?rl???其中：vA?r???sin??l?C4??l?再利用??sin?（c）式可表示成
5r
1sin2??2?gsin?(?)l?310 (d)
当??900, ?AB???|??900?
再将(d)式求导,然后销去??, 最后可得
30g?r?l??6gl ,vA??AB7l535sin?cos?21sin2??????gcos?(?)2l?l?3105
0当??90,可求得?AB?????0,
FAyA ???又因为 ?
???0。a??r?0 当AB杆铅垂时，?A??AA
再取圆盘为研究对象，应用动静法有
ll2??sin????cos?， ?5r5r FAx C mA gF P ?M
A?0，Fr?0, F?0
FN
再研究整体，利用动静法有
?Fy?0
FN?2mg?FIC?0
4－12 此瞬时AB杆作瞬时平移，所以
2m g F P A l229FN?2mg?FIC?2mg?m?AB?mg27
FIC FN
因为AB杆的角速度为零，且A点的加速度为零，
vA?vB?2.44m/s
aC?AB
taBA vB
naB taB
vA
取A为基点，有
又因为B点作圆周运动，所以
将该式在铅垂轴上投影：
nBtBAtntaB?aB?aB?aBA tntaB?aA?aBA?aBA?aBA
由此解得：
2vB a?acos30?h0?AB
AB杆质心C的加速度垂直于AB杆， 其大小为：
2vB??1.8475rad/s2 0hlcos30MIC
FB
FICFA
aC??AB
应用动静法：
l?2.817m/s2 2mg
MIC?
1ml2?AB 12?Fx?0，FICsin300?F?0
FBlcos300?MIC?FICll?mgcos300?022，
F?FICsin300?maCsin300?64N
?MC1,C2。
A?0，
4－14 图示瞬时，AB杆瞬时平移，其加速度瞬心位于P点。设OA、AB杆的质心分别为
各点加速度如图所示，其大小为
2aA?r?0，
FB?284.02N
?rA 20P ?ABar?32?A???0AP2rcos3003 3232?0r?0raB??ABBP?33，
aA
aC1?? ?rC2 ?AB aB ?rB aC2 aC2??ABC2P?
有关的惯性力为：
FIC2?2maC2?232mr?03
MIC2FIC1 P FIC2 ?AB FIB?maB?MIC2?32mr?03
应用动静法和虚位移原理，有
12322m(2r)2?AB?mr2?0129
M???FIC2sin300?rC2?FIB?rB?F?rB?0 ?rB??rC??rA?r??，上式可表示成
2因为：
M???FIC2sin300r???FIBr???Fr???(M?FIC2sin300r?FIBr?Fr)???0
0M?Fsin30r?FIBr?Fr?0， ???0IC2因为，所以
由此解得
M?
研究AB杆及滑块B，
2322m?0r?Fr3
FAy
FAx P M IC2 FIC2 ?MA?0
FIC2rsin300?FNB2rcos300?2mgrcos300?FIBr?Fr?mg2rcos300?MIC2?0由此解得：
2mg ?AB FIB FNB?2mg?5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物M1和质量为8kg的重物M2，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物M2的加速度a2及绳的拉力。 解：
取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力M1g,M2g。假设重物M2的加速度a2的方向竖直向下，则重物M1的加速度a1竖直向上，两个重物惯性力FI1,FI2为：
322F?m?0r39
FNB mg
FI1?M1a1
FI2?M2a2 (1)
该系统有一个自由度，假设重物M2有一向下的虚位移?x2，则重物M1的虚位移?x1竖直向
上。由动力学普遍方程有：
?W??M1g?x1?M2g?x2?FI1?x1?FI2?x2?0
根据运动学关系可知：
（2）
FI2
1?x1??x22
1a1?a22
（3）
将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意?x2?0有：
a2?方向竖直向下。取重物M2为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：
4M2?2M1g?2.8(m/s2)4M2?M1
FI1
M2g?T?M2a2
解得绳子的拉力T?56.1(N)。
本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。
M2g
a 2
5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分 方程。
解：
该系统为保守系统，有一个自由度，取?为广义坐标。系统的动能为：
T
1T?m[(l?R?)??]22
取??0为零势位，则系统的势能为：
整理得摆的运动微分方程为：
V?mg[Rsin??(l?R?)cos?]
拉格朗日函数L?T?V，代入拉格朗日方程有：
d?L?L()??0?dt????
???R??2?gsin??0(l?R?)?
5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为
s?4bsin?，式中s是以O为原点的弧坐标，?是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质
点的运动规律。 解：
该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标S为广义坐标。系统的动能为：
T?
1?2mS2
取S?0为零势位，系统的势能为：
h V?mgh dhS由题可知?sin??，因此有：
dS4b
h??0s
则拉格朗日函数：
sS2ds?4b8b
1?2mg2mS?S28b d?L?L???gS?0， 代入拉格朗日方程： ()??0，整理得摆的运动微分方程为：S??Sdt?S4b1g解得质点的运动规律为：S?Asin(t??0)，其中A,?0为积分常数。
2b5-13质量为m的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度?绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩M。
L?T?V?解：
1.求质点的运动微分方程
圆环（质量不计）以匀角速度?绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度?为
广义坐标。系统的动能为：
11T?m(r??)2?m(?rsin?)222
取??0为零势位，系统的势能为：
则拉格朗日函数：
V?mgr(1?cos?)
L?T?V?
12?2mr(???2sin2?)?mgr(1?cos?)2
d?L?L()??0???代入拉格朗日方程：dt?? ，整理得质点的运动微分方程为：
???(g??2cos?)sin??0?r
如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB
2.求维持圆环作匀速转动的力偶M 匀速?转动”这一约束，将力偶M
视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度?和圆环绕轴AB的转角?为广义坐标，系统
谢传峰《理论力学》课后习题及详解
