FOx?2?lrx0?2ch?t2Foy?P??l(2a??r)g?2?l?2x0ch(2?t)，
2－14 取整体为研究对象，系统的动能为：
T?1212mvA?mCvC22
mg
其中：vA,vC分别是AB杆的速度和楔块C的速度。 若vr是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据 复合运动速度合成定理可知：
vc?vAcot?，
vr vA vC
因此系统的动能可表示为：
T?121122mvA?mCcot2?vA?(m?mCcot2?)vA222，
系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：
dT??W，
系统的动力学方程可表示成：
由上式解得：
?12?2d?(m?mCcot2?)vA?(m?mcot?)vAdvA?mgvAdtC?2??
dvAmg?dtm?mCcot2?，aC?aAcot?
2－17 质量为m0的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为m(m0?3m)光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运
aA?动到B处??300时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。
A A
? ? R R ve m0g B B mg vr FN 图A 图B
解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，
水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为vr，物块的速度为ve，则系统的动能为
T?11112m0ve2?mva2?m0ve?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]2222
设??0为势能零点，则系统的势能为
V??mgRsin?
根据机械能守恒定理和初始条件有T?V?0，即
321mve?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]?mgRsin?22(1)
系统水平方向的动量为：
px?m0ve?m(ve?vrsin?)(2)
根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有
3mve?m(ve?vrsin?)?0
由此求出ve?得：
1vrsin?，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且??300最后求4vr?4
下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为ar，物块的加速度为ae，对于小球有动力学方程
gR1gR,ve?15215
maa?m(ae?arn?art)?F?mg（a）
A
at ? ?r R F R F B m0g mg aeae
FN 图C 图 D
A B
对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有
m0ae?F?m0g?FN（b）
将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得
m(arn?aecos?)?F?mgsin?
vr2其中相对加速度为已知量，a?。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得
Rnr
m0ae?Fcos?0?FN?m0g?Fsin?
令??300，联立求解三个投影方程可求出
ae?2－18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，
设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：
473g94,F?mg,FN?3.6267mg21575
将上式对时间t求导并简化可得：
1?)2?mgR(1?cos?) （a） m(R?2
每个小球的加速度为
???gsin? (b ) ?Rmg m0g FN
anm
mg
tam
取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理
将上式在y轴上投影可得：
tna?am?am??cos??R??2sin?)i?(?R???sin??R??2cos?)j?(R?
?maiiC??Fi
将(a),(b)两式代入上式化简后得
??sin??R??2cos?)?F?2mg?mgm0?0?2m(R?N0
FN?m0g?2mg(3cos2??2cos?)
FN?0时对应的?值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成
m0?02m
3m11上述方程的解为：cos??(?1?0)
332m?113m???圆环脱离地面时的?值为?1?arccos1?0? ?332m????113m???而?2?arccos1?0?也是方程的解，但是???1时圆环已脱离地面，因此?332m??????2不是圆环脱离地面时的值。
3cos2??2cos??2－19 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为vr，牵连速度为ve，由系统对z轴的动量矩守恒，有：
其中：ve?r?，则上式可表示成：
Lz??m0r2??mver?mvrcos?r?0
z
ve
(m0?m)r2??mvrcos?r
mvrcos??vcos?由此解得：?? ?r(m0?m)rrmh
其中：??，tan??m0?m2?r
根据动能定理积分式，有：T2?T1?
vr ? ?W1?2
112m0r2?2?mvaW1?2?mgnh?22
2其中：va?(ve?vrcos?)2?(vrsin?)2，将其代入动能定理的积分式，可得：
T1?0,T2?
m0r2?2?m[(r??vrcos?)2?(vrsin?)2]?2mghn
将?? 则：
?vrcos?r代入上式，可求得：vr?2ghn 21??cos????cos?r2ghn 21??cos?
2由va?(ve?vrcos?)2?(vrsin?)2 可求得：va?vr[1??(2??)cos
2?]
122－20 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为? 应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为： 外力对O轴的矩为：
LO???r3??
?r?r??gds 0MO???gr2??2?grcos?ds?grcos?rd?
? ???gr?????
0???gr2??gr2sin???M?LOO?????gr2??gr2sin????r3????因为：r?
?r?g
dvdvd??dv?vdv，所以上式可表示成： ???dtd?dtd?rd?????g?gsin??r?vdv??g?gsin?rd? ?vdv?rg(??sin?)d?
11积分上式可得：?v2?rg(?2?cos?)?c 22?由初始条件确定积分常数c?gr，最后得：v?[gr(2?2cos???)/?]
3－3 取套筒B为动点，OA杆为动系 根据点的复合运动速度合成定理
可得：vacos300?ve??l，
212va?ve?vr
vA
vB?vBC?va?
研究AD杆，应用速度投影定理有：
23?l 3vave
vr
vD
vDr
vA?vDcos300，vD?
再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理
43?l 3vD?vBC?vDr
将上式在x轴上投影有：?vD??vBC?vDr，vDr??vD?vBC??3－4 AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度
AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：
23?l 3vA??0O1A?450cm/s
vA
谢传峰《理论力学》课后习题及详解
