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高考数学(理)培优练习-二项式定理(含2024高考原题)

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[基础题组练]

2

1.(2024·河北“五个一名校联盟”模拟)?2-x4?的展开式中的常数项为( )

?x?A.-32 C.6 解析:选D.通项

Tr+1=Cr3

2??2?x?3-r

3

B.32 D.-6

3r

(-x4)r=Cr·(-1)rx3(2)

-6+6r

,当-6+6r=0,即r

=1时为常数项,T2=-6,故选D.

2.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数为( ) A.50 C.45

B.55 D.60

44

解析:选B.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数是C5+C46+C7=55.故选B.

1

2x2+?的展开式中x4的系数为( ) 3.?x??A.10 C.40

解析:选D.通项公式

5

5

B.20 D.80

25-r

Tr+1=Cr5(2x)

10-3r?1?=25-rCr

x,令10-3r=4,解得r=2.所以5

?x?r

?2x2+1?的展开式中x4的系数=23·C2

5=80.故选D. x??

4.(2024·河北石家庄模拟)在(1-x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为( ) A.-5 C.-25

B.-15 D.25

35

解析:选B.因为(1-x)5=(-x)5+5x4+C35(-x)+…,所以在(1-x)·(2x+1)的展开式

中,含x4项的系数为5-2C35=-15.故选B.

5.(2024·吉林四平联考)1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为( )

A.2n-1 C.2n1-1

B.2n-1 D.2n

1×(2n1-1)n+1解析:选C.令x=1,得1+2+2+…+2==2-1.

2-1

2

n

6.(2024·山西八校第一次联考)已知(1+x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )

A.29 C.211

B.210 D.212

6n解析:选A.由题意得C4n=Cn,由组合数性质得n=10,则奇数项的二项式系数和为2

-1

=29,故选A.

1?

7.(2024·辽宁沈阳模拟)(x+2)??x-1?展开式中的常数项是( )

2

5

A.12 C.8

5

B.-12 D.-8

5-r

1??1?-1展开式的通项公式为Tr+1=Cr解析:选B.?5

?x??x?

r5

(-1)r=(-1)rCr,当r-5=5x

55

-2或r-5=0,即r=3或r=5时,展开式的常数项是(-1)3C35+2(-1)C5=-12.故选B.

1

x++1?展开式中的常数项为( ) 8.(2024·太原模拟)??x?A.1 C.31

11x++1?=?(x+1)+? 解析:选D.因为?x??x??

514123

=C05(x+1)+C5(x+1)·+C5(x+1)·

5

5

5

B.21 D.51

x

2?1?41?1?5?1??1?+C3

(x+1)·+C(x+1)·+C555x?x??x??x???

234

5

.

155133212

x++1?展开式中的常数项为C0所以?·C·1+C·C·1+C·C·1=51.故选555453?x?D.

a

9.若二项式(x2+)7的展开式的各项系数之和为-1,则含x2项的系数为( )

xA.560 C.280

B.-560 D.-280

2

a

解析:选A.取x=1,得二项式(x2+)7的展开式的各项系数之和为(1+a)7,即(1+a)7

x22?27-r?rx2-?的展开式的通项Tr+1=Cr-=-1,1+a=-1,a=-2.二项式?·(x)·=C(-77·x???x?2)r·x14

-3r

7r

2

.令14-3r=2,得r=4.因此,二项式(x2-)7的展开式中含x2项的系数为C47·(-x

2)4=560,选A.

10.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m

项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )

A.5 C.7

B.6 D.8

+1

展开式的二

m

解析:选B.(x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m,所以a=C2m. 1同理,b=Cm2m+1.

1因为13a=7b,所以13·CmCm2m=7·2m+1.

(2m)!(2m+1)!

所以13·=7·.

m!m!(m+1)!m!所以m=6.

11.若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于( ) A.2 C.2

n+1n

3n-1

B. 23n+1D. 2

解析:选D.设f(x)=(1+x+x2)n, 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+a2n,① f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②

由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=f(1)+f(-1), f(1)+f(-1)3n+1

所以a0+a2+a4+…+a2n==. 22

12.(2024·陕西部分学校摸底考试)已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3

+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为( )

A.39 C.311

B.310 D.312

解析:选D.对(x+2)9= a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312,故选D.

13.(2024·广州市调研测试)已知(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2

-(a1+a3)2=________.

解析:法一:因为(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,所以取x=1得(2+2)4=(a0

+a2+a4)+(a1+a3)①;取x=-1得(2-2)4=(a0+a2+a4)-(a1+a3)②.①②相乘得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+2)4×(2-2)4=[(2)2-22]4=16.

法二:因为(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,所以根据二项式定理得a0=4,a1=162,a2=48,a3=322,a4=16.故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(4+48+16)2-(162+322)2=16.

答案:16

x1

++2?(x>0)的展开式中的常数项为________. 14.??2x?

510-r

x1x1?10?-r?1???解析:?2+x+2?(x>0)可化为?+?,因而Tr+1=C10(x)102r,令10-

?2?x??2

5

2r=0,则r=5,故展开式中的常数项为

632答案: 2

C510·

5

?1?=632.

2?2?

1

x+?的展开式中x6的系数为30,15.(2024·山东枣庄模拟)若(x-a)?则a=________. ?x?

2

10

1

x+?的展开式的通项公式为 解析:??x?

10-r

Tr+1=Cr·10·x

10-2r?1?=Cr

·x, 10

?x?r

10

令10-2r=4,解得r=3,所以x4项的系数为C310. 令10-2r=6,解得r=2,所以x6项的系数为C210.

12

x+?的展开式中x6的系数为C3所以(x-a)?-aC1010=30,解得a=2. ?x?2

10

答案:2

1

x-?的展开式中恰好第五项的二项式系数最大,则展开式中含有x2项16.在二项式??x?的系数是________.

1

x-?的展开式的通项解析:由于第五项的二项式系数最大,所以n=8,所以二项式??x?

8r8

公式为Tr+1=Cr·(-x1)r=(-1)rCr8x8x

-2r

n

8

,令8-2r=2,得r=3,故展开式中含有x2项

的系数是(-1)3C38=-56.

答案:-56

[综合题组练]

02233nnn2n

1.已知Cn-4C1则C1n+4Cn-4Cn+…+(-1)4Cn=729,n+Cn+…+Cn的值等于( )

A.64 C.63

B.32 D.31

02233nnn解析:选C.因为Cn-4C1所以(1-4)n=36,所以nn+4Cn-4Cn+…+(-1)4Cn=729,2nn6

=6,因此C1n+Cn+…+Cn=2-1=2-1=63,故选C.

1

-2x2?的展开式中,除常数项外,各项系数的和为( ) 2.二项式??x?A.-671 C.672

B.671 D.673

9

解析:选B.令x=1,可得该二项式各项系数之和为-1.因为该二项展开式的通项公式为Tr+1=Cr9

?1??x?9-r

r3r9

·(-2x2)r=Cr,令3r-9=0,得r=3,所以该二项展开式中9(-2)·x

3

的常数项为C39(-2)=-672,所以除常数项外,各项系数的和为-1-(-672)=671,故选

B.

a

x-2?展开式中x-3的系数为( ) 3.(应用型)48被7除的余数为a(0≤a<7),则??x?7

6

A.4 320 C.20

B.-4 320 D.-20

066

解析:选B.487=(49-1)7=C7·497-C17·49+…+C7·49-1,

因为487被7除的余数为a(0≤a<7), 所以a=6,

6r6-3r

x-2?展开式的通项为Tr+1=Cr所以?·(-6)·x, 6?x?令6-3r=-3,可得r=3,

63x-2?展开式中x-3的系数为C3所以?·(-6)=-4 320. 6?x?1

ax2-?的展开式中的常数4.(创新型)(2024·湖南永州模拟)设a=?2x dx,则二项式?x???

10

6

66

项为________.

11?ax2-?=?x2-?,其展开式的通项公式为Tr解析:a=?12x dx=x?=1,则二项式?x??x???0?0

2

r26-r

·+1=C6(x)

12-3r?-1?=(-1)rCr

x, 6

?x?r

1

66

令12-3r=0,解得r=4. 所以常数项为(-1)4C46=15. 答案:15

5.(应用型)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求: (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:令x=1,

则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令x=-1,

则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)因为a0=C07=1,

所以a1+a2+a3+…+a7=-2.

-1-37(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094.

2-1+37

(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093.

2

高考数学(理)培优练习-二项式定理(含2024高考原题)

[基础题组练]21.(2024·河北“五个一名校联盟”模拟)?2-x4?的展开式中的常数项为()?x?A.-32C.6解析:选D.通项Tr+1=Cr32??2?x?3-r3B.32D.-63r(-x4)r=Cr·(-1)rx3(2)<
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