[基础题组练]
2
1.(2024·河北“五个一名校联盟”模拟)?2-x4?的展开式中的常数项为( )
?x?A.-32 C.6 解析:选D.通项
Tr+1=Cr3
2??2?x?3-r
3
B.32 D.-6
3r
(-x4)r=Cr·(-1)rx3(2)
-
-6+6r
,当-6+6r=0,即r
=1时为常数项,T2=-6,故选D.
2.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数为( ) A.50 C.45
B.55 D.60
44
解析:选B.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数是C5+C46+C7=55.故选B.
1
2x2+?的展开式中x4的系数为( ) 3.?x??A.10 C.40
解析:选D.通项公式
5
5
B.20 D.80
25-r
Tr+1=Cr5(2x)
10-3r?1?=25-rCr
x,令10-3r=4,解得r=2.所以5
?x?r
?2x2+1?的展开式中x4的系数=23·C2
5=80.故选D. x??
4.(2024·河北石家庄模拟)在(1-x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为( ) A.-5 C.-25
B.-15 D.25
35
解析:选B.因为(1-x)5=(-x)5+5x4+C35(-x)+…,所以在(1-x)·(2x+1)的展开式
中,含x4项的系数为5-2C35=-15.故选B.
5.(2024·吉林四平联考)1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为( )
A.2n-1 C.2n1-1
+
B.2n-1 D.2n
+
1×(2n1-1)n+1解析:选C.令x=1,得1+2+2+…+2==2-1.
2-1
2
n
6.(2024·山西八校第一次联考)已知(1+x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 C.211
B.210 D.212
6n解析:选A.由题意得C4n=Cn,由组合数性质得n=10,则奇数项的二项式系数和为2
-1
=29,故选A.
1?
7.(2024·辽宁沈阳模拟)(x+2)??x-1?展开式中的常数项是( )
2
5
A.12 C.8
5
B.-12 D.-8
5-r
1??1?-1展开式的通项公式为Tr+1=Cr解析:选B.?5
?x??x?
r5
(-1)r=(-1)rCr,当r-5=5x
-
55
-2或r-5=0,即r=3或r=5时,展开式的常数项是(-1)3C35+2(-1)C5=-12.故选B.
1
x++1?展开式中的常数项为( ) 8.(2024·太原模拟)??x?A.1 C.31
11x++1?=?(x+1)+? 解析:选D.因为?x??x??
514123
=C05(x+1)+C5(x+1)·+C5(x+1)·
5
5
5
B.21 D.51
x
2?1?41?1?5?1??1?+C3
(x+1)·+C(x+1)·+C555x?x??x??x???
234
5
.
155133212
x++1?展开式中的常数项为C0所以?·C·1+C·C·1+C·C·1=51.故选555453?x?D.
a
9.若二项式(x2+)7的展开式的各项系数之和为-1,则含x2项的系数为( )
xA.560 C.280
B.-560 D.-280
2
a
解析:选A.取x=1,得二项式(x2+)7的展开式的各项系数之和为(1+a)7,即(1+a)7
x22?27-r?rx2-?的展开式的通项Tr+1=Cr-=-1,1+a=-1,a=-2.二项式?·(x)·=C(-77·x???x?2)r·x14
-3r
7r
2
.令14-3r=2,得r=4.因此,二项式(x2-)7的展开式中含x2项的系数为C47·(-x
2)4=560,选A.
10.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m
项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )
A.5 C.7
B.6 D.8
+1
展开式的二
m
解析:选B.(x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m,所以a=C2m. 1同理,b=Cm2m+1.
+
1因为13a=7b,所以13·CmCm2m=7·2m+1.
+
(2m)!(2m+1)!
所以13·=7·.
m!m!(m+1)!m!所以m=6.
11.若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于( ) A.2 C.2
n+1n
3n-1
B. 23n+1D. 2
解析:选D.设f(x)=(1+x+x2)n, 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+a2n,① f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②
由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=f(1)+f(-1), f(1)+f(-1)3n+1
所以a0+a2+a4+…+a2n==. 22
12.(2024·陕西部分学校摸底考试)已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3
+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为( )
A.39 C.311
B.310 D.312
解析:选D.对(x+2)9= a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312,故选D.
13.(2024·广州市调研测试)已知(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2
-(a1+a3)2=________.
解析:法一:因为(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,所以取x=1得(2+2)4=(a0
+a2+a4)+(a1+a3)①;取x=-1得(2-2)4=(a0+a2+a4)-(a1+a3)②.①②相乘得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+2)4×(2-2)4=[(2)2-22]4=16.
法二:因为(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,所以根据二项式定理得a0=4,a1=162,a2=48,a3=322,a4=16.故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(4+48+16)2-(162+322)2=16.
答案:16
x1
++2?(x>0)的展开式中的常数项为________. 14.??2x?
510-r
x1x1?10?-r?1???解析:?2+x+2?(x>0)可化为?+?,因而Tr+1=C10(x)102r,令10-
?2?x??2
5
2r=0,则r=5,故展开式中的常数项为
632答案: 2
C510·
5
?1?=632.
2?2?
1
x+?的展开式中x6的系数为30,15.(2024·山东枣庄模拟)若(x-a)?则a=________. ?x?
2
10
1
x+?的展开式的通项公式为 解析:??x?
10-r
Tr+1=Cr·10·x
10-2r?1?=Cr
·x, 10
?x?r
10
令10-2r=4,解得r=3,所以x4项的系数为C310. 令10-2r=6,解得r=2,所以x6项的系数为C210.
12
x+?的展开式中x6的系数为C3所以(x-a)?-aC1010=30,解得a=2. ?x?2
10
答案:2
1
x-?的展开式中恰好第五项的二项式系数最大,则展开式中含有x2项16.在二项式??x?的系数是________.
1
x-?的展开式的通项解析:由于第五项的二项式系数最大,所以n=8,所以二项式??x?
8r8
公式为Tr+1=Cr·(-x1)r=(-1)rCr8x8x
-
-
-2r
n
8
,令8-2r=2,得r=3,故展开式中含有x2项
的系数是(-1)3C38=-56.
答案:-56
[综合题组练]
02233nnn2n
1.已知Cn-4C1则C1n+4Cn-4Cn+…+(-1)4Cn=729,n+Cn+…+Cn的值等于( )
A.64 C.63
B.32 D.31
02233nnn解析:选C.因为Cn-4C1所以(1-4)n=36,所以nn+4Cn-4Cn+…+(-1)4Cn=729,2nn6
=6,因此C1n+Cn+…+Cn=2-1=2-1=63,故选C.
1
-2x2?的展开式中,除常数项外,各项系数的和为( ) 2.二项式??x?A.-671 C.672
B.671 D.673
9
解析:选B.令x=1,可得该二项式各项系数之和为-1.因为该二项展开式的通项公式为Tr+1=Cr9
?1??x?9-r
r3r9
·(-2x2)r=Cr,令3r-9=0,得r=3,所以该二项展开式中9(-2)·x
-
3
的常数项为C39(-2)=-672,所以除常数项外,各项系数的和为-1-(-672)=671,故选
B.
a
x-2?展开式中x-3的系数为( ) 3.(应用型)48被7除的余数为a(0≤a<7),则??x?7
6
A.4 320 C.20
B.-4 320 D.-20
066
解析:选B.487=(49-1)7=C7·497-C17·49+…+C7·49-1,
因为487被7除的余数为a(0≤a<7), 所以a=6,
6r6-3r
x-2?展开式的通项为Tr+1=Cr所以?·(-6)·x, 6?x?令6-3r=-3,可得r=3,
63x-2?展开式中x-3的系数为C3所以?·(-6)=-4 320. 6?x?1
ax2-?的展开式中的常数4.(创新型)(2024·湖南永州模拟)设a=?2x dx,则二项式?x???
10
6
66
项为________.
11?ax2-?=?x2-?,其展开式的通项公式为Tr解析:a=?12x dx=x?=1,则二项式?x??x???0?0
2
r26-r
·+1=C6(x)
12-3r?-1?=(-1)rCr
x, 6
?x?r
1
66
令12-3r=0,解得r=4. 所以常数项为(-1)4C46=15. 答案:15
5.(应用型)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求: (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:令x=1,
则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令x=-1,
则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)因为a0=C07=1,
所以a1+a2+a3+…+a7=-2.
-1-37(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094.
2-1+37
(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093.
2