[基础题组练]
2
1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)?2－x4?的展开式中的常数项为( )
?x?A．－32 C．6 解析：选D.通项
Tr＋1＝Cr3
2??2?x?3－r
3
B．32 D．－6
3r
(－x4)r＝Cr·(－1)rx3(2)
－
－6＋6r
，当－6＋6r＝0，即r
＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.
2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为( ) A．50 C．45
B．55 D．60
44
解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C5＋C46＋C7＝55.故选B.
1
2x2＋?的展开式中x4的系数为( ) 3.?x??A．10 C．40
解析：选D.通项公式
5
5
B．20 D．80
25－r
Tr＋1＝Cr5(2x)
10－3r?1?＝25－rCr
x，令10－3r＝4，解得r＝2.所以5
?x?r
?2x2＋1?的展开式中x4的系数＝23·C2
5＝80.故选D. x??
4．(2019·河北石家庄模拟)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为( ) A．－5 C．－25
B．－15 D．25
35
解析：选B.因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C35(－x)＋…，所以在(1－x)·(2x＋1)的展开式
中，含x4项的系数为5－2C35＝－15.故选B.
5．(2019·吉林四平联考)1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 C．2n1－1
＋
B．2n－1 D．2n
＋
1×（2n1－1）n＋1解析：选C.令x＝1，得1＋2＋2＋…＋2＝＝2－1.
2－1
2
n
6．(2019·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29 C．211
B．210 D．212
6n解析：选A.由题意得C4n＝Cn，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2
－1
＝29，故选A.
1?
7．(2019·辽宁沈阳模拟)(x＋2)??x－1?展开式中的常数项是( )
2
5
A．12 C．8
5
B．－12 D．－8
5－r
1??1?－1展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr解析：选B.?5
?x??x?
r5
(－1)r＝(－1)rCr，当r－5＝5x
－
55
－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C35＋2(－1)C5＝－12.故选B.
1
x＋＋1?展开式中的常数项为( ) 8．(2019·太原模拟)??x?A．1 C．31
11x＋＋1?＝?（x＋1）＋? 解析：选D.因为?x??x??
514123
＝C05(x＋1)＋C5(x＋1)·＋C5(x＋1)·
5
5
5
B．21 D．51
x
2?1?41?1?5?1??1?＋C3
(x＋1)·＋C(x＋1)·＋C555x?x??x??x???
234
5
.
155133212
x＋＋1?展开式中的常数项为C0所以?·C·1＋C·C·1＋C·C·1＝51.故选555453?x?D.
a
9．若二项式(x2＋)7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为( )
xA．560 C．280
B．－560 D．－280
2
a
解析：选A.取x＝1，得二项式(x2＋)7的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7
x22?27－r?rx2－?的展开式的通项Tr＋1＝Cr－＝－1，1＋a＝－1，a＝－2.二项式?·(x)·＝C(－77·x???x?2)r·x14
－3r
7r
2
.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式(x2－)7的展开式中含x2项的系数为C47·(－x
2)4＝560，选A.
10．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m
项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5 C．7
B．6 D．8
＋1
展开式的二
m
解析：选B.(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，所以a＝C2m. 1同理，b＝Cm2m＋1.
＋
1因为13a＝7b，所以13·CmCm2m＝7·2m＋1.
＋
（2m）！（2m＋1）！
所以13·＝7·.
m！m！（m＋1）！m！所以m＝6.
11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( ) A．2 C．2
n＋1n
3n－1
B. 23n＋1D. 2
解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n， 则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，① f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)， f（1）＋f（－1）3n＋1
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝. 22
12．(2019·陕西部分学校摸底考试)已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3
＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为( )
A．39 C．311
B．310 D．312
解析：选D.对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.
13．(2019·广州市调研测试)已知(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2
－(a1＋a3)2＝________．
解析：法一：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(2＋2)4＝(a0
＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(2－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋2)4×(2－2)4＝[(2)2－22]4＝16.
法二：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以根据二项式定理得a0＝4，a1＝162，a2＝48，a3＝322，a4＝16.故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(162＋322)2＝16.
答案：16
x1
＋＋2?(x>0)的展开式中的常数项为________． 14.??2x?
510－r
x1x1?10?－r?1???解析：?2＋x＋2?(x>0)可化为?＋?，因而Tr＋1＝C10(x)102r，令10－
?2?x??2
5
2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为
632答案： 2
C510·
5
?1?＝632.
2?2?
1
x＋?的展开式中x6的系数为30，15．(2019·山东枣庄模拟)若(x－a)?则a＝________． ?x?
2
10
1
x＋?的展开式的通项公式为 解析：??x?
10－r
Tr＋1＝Cr·10·x
10－2r?1?＝Cr
·x， 10
?x?r
10
令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C310. 令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C210.
12
x＋?的展开式中x6的系数为C3所以(x－a)?－aC1010＝30，解得a＝2. ?x?2
10
答案：2
1
x－?的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项16．在二项式??x?的系数是________．
1
x－?的展开式的通项解析：由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8，所以二项式??x?
8r8
公式为Tr＋1＝Cr·(－x1)r＝(－1)rCr8x8x
－
－
－2r
n
8
，令8－2r＝2，得r＝3，故展开式中含有x2项
的系数是(－1)3C38＝－56.
答案：－56
[综合题组练]
02233nnn2n
1．已知Cn－4C1则C1n＋4Cn－4Cn＋…＋(－1)4Cn＝729，n＋Cn＋…＋Cn的值等于( )
A．64 C．63
B．32 D．31
02233nnn解析：选C.因为Cn－4C1所以(1－4)n＝36，所以nn＋4Cn－4Cn＋…＋(－1)4Cn＝729，2nn6
＝6，因此C1n＋Cn＋…＋Cn＝2－1＝2－1＝63，故选C.
1
－2x2?的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) 2．二项式??x?A．－671 C．672
B．671 D．673
9
解析：选B.令x＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr9
?1??x?9－r
r3r9
·(－2x2)r＝Cr，令3r－9＝0，得r＝3，所以该二项展开式中9(－2)·x
－
3
的常数项为C39(－2)＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671，故选
B.
a
x－2?展开式中x－3的系数为( ) 3．(应用型)48被7除的余数为a(0≤a<7)，则??x?7
6
A．4 320 C．20
B．－4 320 D．－20
066
解析：选B.487＝(49－1)7＝C7·497－C17·49＋…＋C7·49－1，
因为487被7除的余数为a(0≤a<7)， 所以a＝6，
6r6－3r
x－2?展开式的通项为Tr＋1＝Cr所以?·(－6)·x， 6?x?令6－3r＝－3，可得r＝3，
63x－2?展开式中x－3的系数为C3所以?·(－6)＝－4 320. 6?x?1
ax2－?的展开式中的常数4．(创新型)(2019·湖南永州模拟)设a＝?2x dx，则二项式?x???
10
6
66
项为________．
11?ax2－?＝?x2－?，其展开式的通项公式为Tr解析：a＝?12x dx＝x?＝1，则二项式?x??x???0?0
2
r26－r
·＋1＝C6(x)
12－3r?－1?＝(－1)rCr
x， 6
?x?r
1
66
令12－3r＝0，解得r＝4. 所以常数项为(－1)4C46＝15. 答案：15
5．(应用型)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解：令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)因为a0＝C07＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
2－1＋37
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
2
高考数学(理)培优练习-二项式定理(含2019高考原题)
