河北省保定市2020届高三第一次模拟考试数学（文）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
?x?y?2?0?1．若x，y满足?x?2y?2?0则2x?y的最大值为（ ）
?y?2?A．?6 B．4
C．6
D．8
3x?1,x?1f?a?fx?{ffa?22．设函数??，则满足的a的取值范围是（ ） ????x2,x?1A．?,1?
?2??3?B．0,1
[]?2?,????3?? D．?1,??? C．
3．已知函数f?x??sin?x?3cos?x???0?，若集合x??0,??f?x???1含有4个元素，则实数
???的取值范围是（ ）
?725??35??35??725?,,,????,????262222? D．?26? ? B．?? C．?A．?4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.12?0.05，lg1.3?0.11，lg2?0.30） A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
5．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )
A．24种 B．16种 C．12种 D．10种
6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N0,3区间（3,6）内的概率为（ ） A．4.56%
B．13.59% C．27.18% D．31.74%
?2?，从中随机取一件，其长度误差落在
7．等差数列?an?中，已知a6?a11，且公差d?0，则其前n项和取最小值时的n的值为( ) A．6
B．7
C．8
D．9
8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
3012A．10 B．5 C．10 2D．2 uuuv9．在?ABC中，AC?3，向量AB 在AC上的投影的数量为?2,S?ABC?3，则BC?( ) A．5
B．27 C．29 D．42 uuuv10．函数f(x)?xecosx(x?[??,?])的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”。在某种玩法中，用an表示
*解下n(n?9,n?N)个圆环所需的移动最少次数，?an?满足a1?1，且an???2an?1?1,n为偶数，则
2a?2,n为奇数?n?1解下4个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．22
12．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ） A．p1＜p2＜p3
B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?ax2?3,x?2??a?log2x,0?x?213．已知函数f（x）?的值域为R，则a的取值范围为_____．
14．如图
中，已知点在
上，
，则
的长为 ．
??x?1?5cos?,?x?1?t,C:??y?8?2t（t为参数，t?R）??y??2?5sin?（?为参数，??R）15．设P、Q分别为直线?和曲线
上的点，则16．如图，在则
PQ的取值范围是______． 中，
为
上一点，且满足
，若
的面积为
，
的最小值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22M:(x?5)?y?36上的动点，点N(5,0)，若线段QN的垂直平分线17．（12分）已知点Q是圆
MQ于点P.求动点P的轨迹E的方程若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，
C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.
x2y2E:2?2?1(a?b?0)F,FP(3,1)ab18．（12分）已知点是椭圆上一点，12分别是椭圆的左右焦点，且
uuuruuuurPF1?PF2?0求曲线E的方程；若直线l:y?kx?m不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为
坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为求实数?的取值范围.
19．G分别是AA1，B1C1的中点，（12分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，点P，已知AA1⊥平面ABC，
k1,k2，对任意的斜率k，若存在实数?，使得
??k1?k2??k?0，
AA1=B1C1=3，A1B1=A1C1=2.求异面直线A1G与AB所成角的余弦值；求证：A1G⊥平面BCC1B1；求
直线PC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为的极坐标方程为
．求直线
极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线
的普通方程和曲线的直角坐标方程；过点作直线的垂线交曲线于两点，求.
21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
??x?3cos???y?3sin?（?为参数）xOy在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为?，在以原点为极点，x轴正
半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
??sin(??)?24.求曲线C的普通方程和直线l的直角
的值.
坐标方程；设点P(?2,0)，直线l和曲线C交于A，B两点，求
PA?PB22．（10分）如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为平行四边形，BA?BP?BD?AP?2，
DA?DP?2. 求证：PA?BD；求二面角P?BD?C的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．C 8．C 9．C 10．B 11．A 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4(0,]3 13．
14．
?5,??15．?
16．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
?x2y217． (Ⅰ) ??1 (Ⅱ)见证明
94【解析】 【分析】
（Ⅰ）线段QN的垂直平分线交MQ于点P，所以PN?PQ，则PM?PN?PM?PQ为定值，所以P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出kAB?kAC化简可得定值. 【详解】
解：（Ⅰ）由题可知，线段QN的垂直平分线交MQ于点P， 所以PN?PQ，则PM?PN?PM?PQ?6?25， 所以P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
x2y2设该椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，
ab则2a?6,c?5，所以b2?4，
x2y2可得动点P的轨迹E的方程为??1.
94（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D的直线l斜率存在且不为0， 故可设l的方程为y?kx?m?k?0?，B?x1,y1?,C?x2,y2?，
?y?kx?m?222由?x2y2得?4?9k?x?18kmx?9m?36?0，
?1??4?9???18km??44?9k29m2?36?1449k2?m2?4?0
18km9m2?36 x1?x2??xx?21224?9k4?9k而kAB?kAC?2??????y?x2?3??y2?x1?3??kx1?m??x2?3???kx2?m??x1?3?y1y?2?? x1?3x2?3?x1?3??x2?3??x1?3??x2?3?
?2kx1x2??3k?m??x1?x2??6mx1x2?3?x1?x2??99m2?36?18km?2k??3k?m?6m????2?4?9k24?9k??? 29m?36?18km??3????92?4?9k24?9k???8
3?m?3k?
【附15套精选模拟试卷】河北省保定市2020届高三第一次模拟考试数学(文)试卷含解析
