【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n?1，n?2．
依题意可知：15|n，17|?n?1?，19|?n?2?，根据整除的性质对这三个算式进行变换：
?15|?2n?15???17|?n?1??17|?2n?2??17|?2n?15???[15,17,19]|?2n?15? 19|?n?2??19|?2n?4??19|?2n?15???15|n?15|2n从上面可以发现2n?15应为15、17、19的公倍数．
由于[15,17,19]?4845，所以2n?15?4845?2k?1? (因为2n?15是奇数)，可得n?4845k?2415． 当k?1时n?2430，n?1?2431，n?2?2432，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．
【例 19】 (2008年西城实验考题)从1，2，3，??，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差
为13，则n的最大值为多少？
【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个
相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取x???个数，使
?2?得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个． 基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为??n???13??x?或??n???1，两个长度差为13??1的序列，
要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为8?8?9?5?109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．
【巩固】 从1，2，3，4，?，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为
多少？
【解析】 取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且
这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在1?2007中，除以15的余
15?2，15?133，15?1?5，数为0的有15?1，…，共有133个；除以15的余数为5的有15?0?5，…，15?133?5，共有134个；除以15的余数为10的有15?0?10，15?1?10，…，15?133?10，
共有134个．所以N最大为134．
【例 20】 将自然数1，2，3，4??依次写下去，若最终写到2000，成为123?19992000，那么这个自然
数除以99余几？
【解析】 由于99?9?11，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数．实际上求
得这个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余数为3． 下面介绍另一种解法．
由于100a?99a?a，所以100a除以99的余数等于a除以99的余数．同样，10000a，1000000a……等数除以99的余数等于a除以99的余数．可知，一个自然数a，如果在它后面加上偶数个0，那么这个数除以99的余数等于a除以99的余数．
根据这一点，可以把123?19992000分成若干个后面带有偶数个0的数之和．
由于123?19992000的位数是奇数，那么对于组成123?19992000的一位数1，2，3，……，9，可以分成100?00，2300?00，4500?00，6700?00，8900?00；
对于其中的两位数10，11，12，……，98，99，可以分成1000?00，1100?00，1200?00，……，
9800?00，9900?00；
对于其中的三位数100，101，102，103，……，998，999，两两一组，可以分成10010100?00，
10210300?00，10410500?00，……，99899900?00；
?00，100100?00，对于其中的四位数1000，1001，……，1999，2000，可以分成100000100200?00，……，19990000，2000．
那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为123?19992000，那么123?19992000除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和． 由于这些数除以99的余数分别为1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差为2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：
?1?23?45?67?89???10?11?12???99???100101?102103???998999?
??1000?1001???2000??225??10?99??90?2??100101?998999??450?2??1000?2000??1001?2?225?4905?247297500?1501500 ?248804130，
而248804130除以99的余数等于2?48?80?41?30?201除以99的余数，为3． 所以123?19992000除以99的余数为3．
【巩固】 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：
12345678910111213?20072008，试求这个多位数除以9的余数．
【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于?1?9?9?9?2?0?0?0?被9除的余数，但
是由于1999与?1?9?9?9?被9除的余数相同，2000与?2?0?0?0?被9除的余数相同，所以19992000就与?1999?2000?被9除的余数相同．
由此可得，从1开始的自然数12345678910111213?20072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．
根据等差数列求和公式，这个和为：
?1?2008??20082?2017036，它被9除的余数为1．
另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同． 因此，此数被9除的余数为1．
【例 21】 (2008年清华附中考题)已知n是正整数，规定n!?1?2???n，
令m?1!?1?2!?2?3!?3???2007!?2007，则整数m除以2008的余数为多少？
m?1!?1?2!?2?3!?3????2007!?2007 【解析】
?1!?（2?1）?2!?（3?1）?3!?（4?1）????2007!?（2008?1） ?2!?1!?3!?2!?4!?3!????2008!?2007! ?2008!?1
2008能够整除2008!，所以2008!?1的余数是2007．
1?3?5???1991的末三位数是多少？ 【巩固】
【解析】 首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1?3?5???991的平方再乘以993?995?997?999的末三位．
而993?995?997?999?993?999?995?997
??993000?993???995000?995?3???993000?993???995000?2985?，
其末三位为7?15?105；
然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为?5k? (k为奇数)，
由于?5k??25k2?25?25?k2?1?，而奇数的平方除以8余1，所以k2?1是8的倍数，则25?k2?1?是200的倍数，设25?k2?1??200m，则?5k??25?25?k2?1??25?200m，所以它与105的乘积?5k??105??25?200m??105?21000m?2625，
2222 所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625．
【例 22】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，
第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字
之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积， 即31031?31?1001?143?217
所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360
【例 23】 设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位
数字之和为D，那么D?？
【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A、B、C、D
除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而26?64除以9的余数为1，所以22009?26?334?5??26?即为5．
另一方面，由于20092009?100002009?108036，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9?8036?72324，即A?72324；那么A的各位数字之和B?9?5?45，B的各位数字之和C?9?2?18，C小于18且除以9的余数为5，那么C为5或14，C的各位数字之和为5，即D?5．
课后练习：
练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和
等 于415，则被除数是_______．
【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为
（415?4?8?8）?（4?1）?79，所以，被除数为79?4?8?324。
334?25除以9的余数为25除以9的余数，
练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即
1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，
31998?2?3?37，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10
小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。
练习3. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个
数，
甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)
【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡
片上的数之和应是3的倍数．
计算这六个数的总和是1193?1258?1842?1866?1912?2494?10565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．
练习4. 求644312?19的余数
【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，求
原式的余数只要求212?19的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，212?26?26?64?64，
64÷19余数为7，那么求212?19的余数就转化为求64?64?19的余数，即49÷19的余数。 49÷19余数为11，所以原式6443?19的余数为11.
练习5. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a?1，a2，a3?1，求该自然数的值． 【解析】 根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．
由于a2?a?a，所以自然数612?3721与154同余；由于a3?a?a2，所以61?154?9394与201
同余， 所以除数是3721?154?3567和9394?201?9193的公约数，运用辗转相除法可得到 (3567,9193)?29，该除数为29．经检验成立．
练习6. (香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多
10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人． 【解析】 三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数
是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三
校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是5480?2196?3284，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来
12
五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版
