以5的余数等于4?1?1?5除以5的余数，为0，即此时4p2?1被5整除，而4p2?1大于5，所以此时4p2?1不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知6p2?1不是质数，所以P不等于5，
4p?1与6p?1至少有一个不是质数，所以只有p?5满足条件．
22
【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所
得的余数都是3．
【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于
因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的89～98
可以改换为1～10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：
进而得到本题的答案是：
因数 因数
【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式abc?bca?cab?234235286 (其中a?b?c)， 在
校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？
91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因数 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 【解析】 由于234235286?2?3?4?2?3?5?2?8?6?8(mod9)，abc?bca?cab?(a?b?c)3(mod9)，
于是(a?b?c)3?8(mod9)，从而(用a?b?c?0,1,2,...,8(mod9)代入上式检验)
a?b?c?2,5,8(mod9)…(1)，对a进行讨论：
如果a?9，那么b?c?2,5,8(mod9)…(2)，又c?a?b的个位数字是6，所以b?c的个位数字为4，b?c可能为4?1、7?2、8?3、6?4，其中只有(b,c)?(4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有
983?839?398?32824532 6符合题意．
4?3、如果a?8，那么b?c?3,6,0(mod9)…(3)，又b?c的个位数字为2或7，则b?c可能为2?1、6?2、7?6、7?1，其中只有(b,c)?(2,1)符合(3)，经检验，abc?821不合题意．
如果a?7，那么b?c?4,7,1(mod9)…(4)，则b?c可能为4?2、6?3，其中没有符合(4)的(b,c)． 如果a?6，那么b?5，c?4，abc?bca?cab?700?600?500?210000000?222334586，因此这时abc不可能符合题意．综上所述，abc?983是本题唯一的解．
【例 12】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a?2，a?5，则这个自然数是多少？ 【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是290?233?57的约数，又是233?195?38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．
【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余
数，则这个自然数是多少？
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90?164?254后所得的余
数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254?220?34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．
【例 13】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603?A?K1??r1 939?A?K2??r2 393?A?K3??r3
由于r1?2r2，r2?2r3，要消去余数r1, r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子：603?A?K1??r1 ?939?2??A?2K2??2r2
最后两两相减消去余数，意味着能被A整除． ?393?4??A?2K3??4r3这样余数就处理成相同的．
939?2?603?1275，393?4?603?969，?1275,969??51?3?17．
51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．
【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值. 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：?429?5??2?848，791、500?2?1000，这样
这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.
将这三个数相减，得到848?791?57、1000?848?152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而?57,152??19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a?6时成立,所
以这个自然数是19，a?6.
【模块三：余数综合应用】
【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21??这串数列当中第2008个数除以
3所得的余数为多少？
【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数
定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
【巩固】 （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，??，从第三个数起，每个数都是
前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于2009?5?401?4，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
【例 15】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现
知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．
【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过2?5?8?15，
既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]?18，设该数为a，则a?18m?1，即a?18(m?1)?17（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．
【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人
的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是3k?1型的数，又是质数．只
有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．
【例 16】 (华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋 BA那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号
为2，3，4，?，B孔的编号就是圆圈上的孔数．
我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，?上，也就是说， 1．
同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为a，则a?15m?1（m为非零自然数）而且a能被7整除．注意15被7除余1，所以15?6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而15?7?105已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是15?6?1?91．
【巩固】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一
个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．
【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．
1～9小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加
共有9个数字，10～99共有90个两位数，共有数字：90?2?180 (个), 100～999共900
个三位数，共有数字：900?3?2700 (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(1997?9?180)?3?602......2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702?9?78 (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2?7 ．
【例 17】 设2n?1是质数，证明：12，22，?，n2被2n?1除所得的余数各不相同．
【解析】 假设有两个数a、b，(1?b?a?n)，它们的平方a2，b2被2n?1除余数相同．那么，由
同余定理得a2?b2?0(mod(2n?1))，即(a?b)(a?b)?0(mod(2n?1))，由于2n?1是质数，所以
a?b均小于2n?1且大于0，a?b由于a?b，可知，a?b?0(mod(2n?1))或a?b?0(mod(2n?1))，
与2n?1互质，a?b也与2n?1互质，即a?b，a?b都不能被2n?1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．
【巩固】 试求不大于100，且使3n?7n?4能被11整除的所有自然数n的和． 【解析】 通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，
依次为：31为3，32为9，33为5，34为4，35为1，…，
因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地， 可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……； 于是3n?7n?4被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……； 这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意， 即n?3,4,6,13,14,16,......,93,94,96时3n?7n?4能被11整除，所以， 所有满足条件的自然数n的和为：
3?4?6?13?14?16?...?93?94?96?13?43?...?283?1480．
【巩固】 若a为自然数，证明10(a2005?a1949)．
200510?2?5，由于a【解析】 与a1949的奇偶性相同，所以2(a2005?a1949)．
a2005?a1949?a1949(a56?1)，如果a能被5整除，那么5a1949(a56?1)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56?(a4)14，即14个a4相乘，所以a56除以5均余1，则a56?1能被5整除，有5a1949(a56?1)．所以5(a2005?a1949)．
由于2与5互质，所以10(a2005?a1949)．
【例 18】 设n为正整数，k?2004n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值． 【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3．
由于21?2被7除余2，而23?8被7除余1，所以n除以3的余数为1； 由于28?256被11除余3，210?1024被11除余1，所以n除以10的余数为8． 可见n?2是3和10的公倍数，最小为?3,10??30，所以n的最小值为28．
【巩固】 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写
出一组这样的三个连续自然数．
五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版
