1~198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同, 而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数.
【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于
它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?
【解析】 设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和n,则s?17a?m?19b?n.
根据题意可知a?m?b?n,所以s??a?m??s??b?n?,即16a?18b,得8a?9b.所以a是9的倍数,b是8的倍数.此时,由a?m?b?n知n?m?a?b?a?89a?19a.
由于s为三位数,最小为100,最大为999,所以100?17a?m?999,而1?m?16,
所以17a?1?17a?m?999,100?17a?m?17a?16,得到5?a?58,而a是9的倍数,所以a最小为9,最大为54. 当a?54时,n?m?当a?9时,n?m?1919a?6,而n?18,所以m?12,故此时s最大为17?54?12?930;
.
a?1,由于m?1,所以此时s最小为17?9?1?154所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.
【例 6】 两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a?b,求ab?ba.
【解析】 即(10a?b)?能被7整除.所以只能有a?b?7,那么abab?ba能被7整除,(10b?a)?9?(a?b)可能为92和81,验算可得当ab?92时,ba?29 满足题目要求,ab?ba?92?29?2668
【巩固】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,
那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?
【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34
的公约数,所求答案为17.
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数
是_________.
【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除.(392,686)?98,所以所求的最大整数是98.
【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________. 【解析】 找规律.用7除2,22,23,24,25,26,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2
的个数是3的倍数时,用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4.因为22003?23?667?2,所以22003除以7余4.又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1.故22003与20032的和除以7的余数是4?1?5.
【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数
的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.
【解析】 1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.
因为2?5?2?5?0?7,2?5?3?6?0?2?5?3?6?7?9, 所以这样的数组共有下面4个:?2000,2003?,?1998,2000,2003? ,
?2000,2003,2001,1995? ,?1998,2000,2003,2001,1995?.
【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数
之和是50,那么这个整数是______.
【解析】 (70?110?160)?50?290,50?3?16......2,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能
是29和58,110?58?1......52,52?50,所以除数不是58.
70?29?2......12,110?29?3......23,160?29?5......15,12?23?15?50,所以除数是29
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为
25,那么n=________
【解析】 n能整除63?91?129?25?258.因为25?3?8...1,所以n是258大于8的约数.显然,n
不
能大于63.符合条件的只有43.
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码
的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,
1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。
【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、
26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》的定价是________元.
【解析】 六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以
他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1.易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(14?17?18?21?26)?3?32 (元) .
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,
两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.
【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数.
剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是(15?16?18?19?20?31)?(1?2)?119?3?39...2,20 千克.
【例 10】 求2461?135?6047?11的余数.
【解析】 因为2461?11?223...8,135?11?12...3,6047?11?549...8,根据同余定理(三),
2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数,而8?3?8?192, 192?11?17...5,所以2461?135?6047?11的余数为5.
【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478?296?351除以17的余数.
【解析】 先求出乘积再求余数,计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除
以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2?7?11)?17?9......1.
【巩固】 求31997的最后两位数.
【解析】 即考虑31997除以100的余数.由于100?4?25,由于33?27除以25余2,所以39除以25余8,
3除以25余24,那么3除以25余1;又因为3除以4余1,则31020220除以4余1;即320?1能被4
和25整除,而4与25互质,所以320?1能被100整除,即320除以100余1,由于
1997?20?99?17,所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数,而36?729除以100余
29,35?243除以100余43,317?(36)2?35,所以317除以100的余数等于29?29?43除以100的余数,而29?29?43?36163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63.
【巩固】 222?2除以13所得余数是_____. ?????2000个\2\【解析】 我们发现222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9。
【巩固】 求14389除以7的余数. 【解析】 法一:
由于143?3?mod7? (143被7除余3),
所以14389?389?mod7? (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)
而36?729,729?1?mod7?(729除以7的余数为1),
66655 所以389?3?3????3?3?3?5?mod7?. ??????14个故14389除以7的余数为5.
法二:
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表:
mod73 13 223 633 443 553 1 63 3 7?? 3 于是余数以6为周期变化.所以389?35?5?mod7?.
【巩固】 (2007年实验中学考题)12?22?32???20012?2002除以7的余数是多少? 【解析】 由于12?22?32???20012?20022?2002?2003?40056而1001是7的倍数,?1001?2003?1335,
所以这个乘积也是7的倍数,故12?22?32???20012?20022除以7的余数是0;
【巩固】 ?3130?3031?被13除所得的余数是多少?
【解析】 31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,?时5n被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,
12,8,1?以4为周期循环出现,所以530被13除的余数与52被13除的余数相同,余12,则3130除以13的余数为12;
30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,?时,4n被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,??以6为周期循环出现,所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数,即4,故3031除以13的余数为4; 所以?3130?3031?被13除所得的余数是12?4?13?3.
【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a?20082008???2008???????,问:a除以13所得的余数是多少?
2008个2008【解析】 2008除以13余6,10000除以13余3,注意到20082008?2008?10000?2008;
200820082008?20082008?10000?2008;
2008200820082008?200820082008?10000?2008;
??
根据这样的递推规律求出余数的变化规律:
20082008除以13余6?3?6?13?11,200820082008除以13余11?3?6?39?0,即200820082008是13的倍数.
而2008除以3余1,所以a?20082008???2008???????除以13的余数与2008除以13的余数相同,为6.
2008个2008
【巩固】 777?????77除以41的余数是多少? ???1996个7【解析】 找规律:7?41?□???7,77?41?□???36,777?41?□???39,7777?41?□???28,
77777?41?□???0,……,所以77777是41的倍数,而1996?5?399?1,所以777?????77可以分???1996个7成399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7.
12342005【巩固】 除以10所得的余数为多少? 1?2?3?4????2005【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,
而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的. 首先计算11?22?33?44????2020的个位数字,
为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字,为4, 由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0,另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005,它们和的个位数字是
1?4?7?6?5?23的个位数 3,所以原式的个位数字是
3,即除以10的余数是3.
【例 11】 求所有的质数P,使得4p2?1与6p2?1也是质数.
【解析】 如果p?5,则4p2?1?101,6p2?1?151都是质数,所以5符合题意.如果P不等于5,那么P
除以5的余数为1、2、3或者4,p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况.如果p2除以5的余数为1,那么4p2?1除
五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版
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