第十讲:数论之余数问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!”
余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨:
一、带余除法的定义及性质:
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r, 0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: (1)当r?0时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:
如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等 于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2. 3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论: 若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
三、弃九法原理:
在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:
例如:检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。 例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的
但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往
往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、中国剩余定理:
1.中国古代趣题:
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法:
对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:
今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。
先由5?7?35,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数35?2?70是否可以,很显然70除以3余1
类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。 最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:
2?70?3?21?2?45?k[3,5,7]?233?k[3,5,7],其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”, 那么我们可以计算2?70?3?21?2?45?2?[3,5,7]?23得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。
例题精讲:
【模块一:带余除法的定义和性质】
【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992,得到商是46,余数是r,求a和r. 【解析】 因为1992是a的46倍还多r,得到1992?46?43......1,得,所以a?43,41992?46?43?14r?14.
【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数. 【解析】 (法1)因为 甲?乙?11?32,所以 甲?乙?乙?11?32?乙?乙?12?32?1088;
则乙?(1088?32)?12?88 ,甲?1088?乙?1000.
(法2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:从1088中减掉32以后,1056就应当是乙数的(11?1)倍,所以得到乙数?1056?12?88,甲数?1088?88?1000.
【巩固】 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。
【解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问
题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.
【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、
除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少?
【解析】 被除数?除数?商?余数?被除数?除数+17+13=2113,所以被除数?除数=2083,由于被除数是
除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)÷(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.
【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求
这2个自然数各是多少?
【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到
?x?40y?16?x?856,解方程组得?,即这两个自然数分别是856,21. ?x?y?40?16?933y?21??
【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以
19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______。
【解析】 设所得的商为a,除数为b.(19a?b)?(23a?b)?(31a?b)?2001,73a?3b?2001,由b?19,
可求得a?27,b?10.所以,这三个数分别是19a?b?523,23a?b?631,31a?b?847。
【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等
的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.
【解析】 设这个自然数除以11余a(0?a?11),除以9余b(0?b?9),则有11a?a?9?3b?b,即3a?7b,
只有a?7,b?3,所以这个自然数为12?7?84。
【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5
人.如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够.如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余;每人4本,书不够.问:第二组有多少人?
【解析】 由48?4?12,48?5?9.6知,一组是10或11人.同理可知48?3?16,48?4?12知,二组是
13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人.
【巩固】 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.
【解析】 因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于13?6?78,并且小于13?(6?1)?91;
又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78?5?83.
【模块二:三大余数定理的应用】
【例 5】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据
同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101?45?56,59?45?14,(56,14)?14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。
【巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
【解析】 (法1) 39?3?36,147?3?144,(36,144)?12,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小
于除数,这个数是4,6,12;
(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.51?39?12,147?39?108,(12,108)?12,所以这个数是4,6,12.
【巩固】 在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.
五年级奥数-第十讲 数论之余数问题 教师版
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