其中，由已知的效用函数U＝xeq \\f(3,8)1xeq \\f(5,8)1可得
MU1＝eq \\f(dTU,dx1)＝eq \\f(3,8)x－eq \\f(5,8)1xeq \\f(5,8)2 MU2＝eq \\f(dTU,dx2)＝eq \\f(5,8)xeq \\f(3,8)1x－eq \\f(3,8)2
于是，有 eq \\f(\\f(3,8)x－\\f(5,8)1x\\f(5,8)2,\\f(5,8)x\\f(3,8)1x－\\f(3,8)2)＝eq \\f(P1,P2)
整理得 eq \\f(3x2,5x1)＝eq \\f(P1,P2) 即有 x2＝eq \\f(5P1x1,3P2)(1) 将式(1)代入约束条件P1x1＋P2x2＝M，有
P1x1＋P2·eq \\f(5P1x1,3P2)＝M
解得 xeq \\o\\al(*,1)＝eq \\f(3M,8P1)
代入式(1)得xeq \\o\\al(*,2)＝eq \\f(5M,8P2)。 所以，该消费者关于两商品的需求函数为 eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(x\\o\\al(*,1)＝\\f(3M,8P1) x\\o\\al(*,2)＝\\f(5M,8P2)))
8. 令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。求该消费者的最优商品消费组合。
解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值MRS12＝－eq \\f(dx2,dx1)＝a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为－eq \\f(P1,P2)，所以，该消费者的最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解，如图3—5所示。
第一种情况：当MRS12＞eq \\f(P1,P2)，即a＞eq \\f(P1,P2)时，如图3—5(a)所示，效用最大化的均衡点E位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq \\o\\al(,1)＝eq \\f(M,P1)，xeq \\o\\al(*,2)＝0。也就是说，消费者将全部收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
图3—5
第二种情况：当MRS12＜eq \\f(P1,P2)，即a＜eq \\f(P1,P2)时，如图3—5(b)所示，效用最大化的均衡点E位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq \\o\\al(,1)＝0，xeq \\o\\al(,2)＝eq \\f(M,P2)。也就是说，消费者将全部收入都购买商品2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
第三种情况：当MRS12＝eq \\f(P1,P2)，即a＝eq \\f(P1,P2)时，如图3—5(c)所示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任何一点的商品组合，即最优解为xeq \\o\\al(,1)≥0，xeq \\o\\al(,2)≥0，且满足P1x1＋P2x2＝M。此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出，显然，该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
9. 假定某消费者的效用函数为U＝q0.5＋3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：
(1)该消费者的需求函数； (2)该消费者的反需求函数；
(3)当p＝eq \\f(1,12)，q＝4时的消费者剩余。 解答：(1)由题意可得，商品的边际效用为
－
MU＝eq \\f(?U,?q)＝0.5q0.5
货币的边际效用为
λ＝eq \\f(?U,?M)＝3
于是，根据消费者均衡条件eq \\f(MU,p)＝λ，有
－
eq \\f(0.5q0.5,p)＝3
整理得需求函数为q＝eq \\f(1,36p2)。
(2)由需求函数q＝eq \\f(1,36p2)，可得反需求函数为
p＝eq \\f(1,6\\r(q))
(3)由反需求函数p＝eq \\f(1,6\\r(q))，可得消费者剩余为
CS＝∫eq \\o\\al(q,0)eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(1,6\\r(q))))dq－pq＝eq \\f(1,3)qeq \\f(1,2)eq \\o\\al(q,0)－pq＝eq \\f(1,3)qeq \\f(1,2)－pq
将p＝eq \\f(1,12)，q＝4代入上式，则有消费者剩余
CS＝eq \\f(1,3)×4eq \\f(1,2)－eq \\f(1,12)×4＝eq \\f(1,3)
10. 设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即U＝xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α＋β＝1。
(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。
(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
解答：(1)由消费者的效用函数U＝xαyβ，算得
－
eq \\b\\lc\\ \\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(MUx＝\\f(?U,?x)＝αxα1yβ
－
MUy＝\\f(?U,?y)＝βxαyβ1))
消费者的预算约束方程为 Pxx＋Pyy＝M(1)
根据消费者效用最大化的均衡条件 eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(MUx,MUy)＝\\f(Px,Py) Pxx＋Pyy＝M))(2)
－－
得 eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(αxα1yβ,βxαyβ1)＝\\f(Px,Py) Pxx＋Pyy＝M))(3)
图3—6
解方程组(3)，可得
x＝αM/Px(4) y＝βM/Py(5)
式(4)和式(5)即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 上述需求函数的图形如图3—6所示。
(2)商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为
λPxx＋λPyy＝λM(6)
其中λ为一非零常数。
此时消费者效用最大化的均衡条件变为
－－
eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(αxα1yβ,βxαyβ1)＝\\f(Px,Py) λPxx＋λPyy＝λM))(7)
由于λ≠0，故方程组(7)化为
－－
eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(αxα1yβ,βxαyβ1)＝\\f(Px,Py) Pxx＋Pyy＝M))(8)
显然，方程组(8)就是方程组(3)，故其解就是式(4)和式(5)。 这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。 (3)由消费者的需求函数式(4)和式(5)，可得
α＝Pxx/M(9) β＝Pyy/M(10)
关系式(9)的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。关系式(10)的右边正是商
品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。
11.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入是M＝80。现在假定商品1的价格下降为P1＝2。
求：(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
(2)由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
(3)由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
解答：利用图3—7解答此题。在图3—7中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。
图3—7
(1)先考虑均衡点a。根据效用最大化的均衡条件MRS12＝eq \\f(P1,P2)，其中，MRS12
＝eq \\f(MU1,MU2)＝eq \\f(X2,X1)，eq \\f(P1,P2)＝eq \\f(4,2)＝2，于是有eq \\f(X2,X1)＝2，X1＝eq \\f(1,2)X2。将X1＝eq \\f(1,2)X2代入预算约束等式4X1＋2X2＝80，有
4·eq \\f(1,2)X2＋2X2＝80
解得 X2＝20 进一步得 X1＝10 则最优效用水平为 U1＝X1X2＝10×20＝200
再考虑均衡点b。当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面同理，根据效用最大化的均衡条件MRS12＝eq \\f(P1,P2)，有eq \\f(X2,X1)＝eq \\f(2,2)，X1＝X2。将X1＝X2代入预算约束等式2X1＋2X2＝80，解得X1＝20，X2＝20。
从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。
(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。
在均衡点c，根据MRS12＝eq \\f(P1,P2)的均衡条件，有eq \\f(X2,X1)＝eq \\f(2,2)，X1＝X2。将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2＝200，解得X1＝14，X2＝14(保留整数)。
从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝14－10＝4，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。
(3)至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－14＝6，这就是P1变化引
西方经济学-微观部分-第三章课后习题答案
