第一章
???1、证明：X服从正态分布，即X~N（mx，?x）。概率密度函数为：?p（x）?1N2（2?）?12x?1??1?T?exp??（X?mx）（X?m）?x?x?2?????T1??T?t）X的特征函数为：f（?exp[jm?t?xt]xtX2?此外，t?（t1，t2，??，tN）?则?的特征函数 ?T??TT1?T?TTf（?）?f（?B）?exp[jm（?B）?（?B）（??xB）]?xx2???T1??exp[jmxB?T?（?BT）B??x]2由特征函数与分布函数之间的唯一性定理知：??????BX服从正态分布，即?~N（mxB，BT?xB）
2、证明：?设X的协方差为?XN?N?，Y的协方差为?YN?N??T??????Cov（X，Y）?RXY?E[XY]??X??0???X，Y的联合概率密度函数为0???Y???T???X??????T? 1?1???p（X，Y）?exp??RX?Y?????XYN?M12???Y?（2?）2RXY2???????T1??T?1?1??exp??X?XX?Y?XY?N?M112?2?222（2?）?X?Y???p（X）p（Y）???X与Y相互独立。??3、证明：??mx?a，其中a为常量。设xT则，E[eeT]?Ree?E（[x?mx?a）（x?mx?a）]?Rxx?mxmx?aaT要使Ree?min，则aaT?a，a?0，则a?0??mx且Ree?Rxx?mxmx?Cov(x,x)??x。?xTT
1.6、解:?）?)]? E[(x?Hy)(x-Hy)??E（[x?x(x?xTT?
d???E[xyT]?E[yxT]?2HE[yyT] dH设yi?xi?civi?xi?wi其中xi为真实值。civi为随机误差。
T?E[xyT]?E[x（x?w）]?E[xxT]?E[xwT]
?v与x不相关，故w与x不相关。且x与v都是零均值的，
故E[xw]?E[wx]?0
TT同理：E[yxT]?E（[x?w）xT]?E[xxT]?E[xTx]
?E[xy]?E[yx] 故令TTd???2E[xyT]?2HE[yyT]?0 dHTT?1 ?H?E[xy]E[yy]
1、7：解由Schmidt正交化过程： ?1?y1
?2?y2?E[y2?1]E[?1?1]?1?y2?E[y2y1]E[y1y1]y1
?1
?3?y3?E[y3?1]E[?1?1]?1??E[y3?2]E[y2?2]?1?2?y3??y3? ?R21?R12 ?原式?y3?R31?1?1?12?1y1?{E[y（]E（[y2?R21R11y1）][y2?R21R11y1]}3y2?R21R11y1）R11?RR?R21R31R31R（RR?R21R31）?y1??3211y2?213211y1?R11R11（R22R11?R21R12）??R22R11?R21R12R32R11?R21R31?R12R32?R22R31）y2?y1
R22R11?R21R12R22R11?R21R12 ?y3??R31?R11R32???R21R12??y1??y? R22???2??1y2?e0?E[y2y1]E[y1y1]?1y11、8：解设e0、e2、e3分别为y0、y2、y3上的单位方向矢量，由正交分解定理，有 y0?e0?E[y0y1]E[y1y1]?1y1 由??Ay得
TTTT
?2?a22y0?a21y1?y2?a22e0?a22E[y0y]E[yy]y1?a21y1?e2?E[y2y]E[yy]y1T1T?111T1T?111
??2?y1,故有
E[?2y1]?a22E[y0y1]?a21E[y1y1]?E[y2y1]?0TTT代入上式得?2?a22e0?e2
??2?{y0,y1},e0?{y0,y1},故e0??2,即E[?2e0]?0 ?y2?E[e2e0]E[e0e0]?1??a22 同理,y3?E[e3e0]E[e0e0]?1??a33 1、9：解1?（k）取样自相关R?YYNN?1?kn?0TTTTTTT?yn?kyn,k?N?1
14?RYY（0）??ynyn?15n?013?RYY（1）??yn?1yn??0.85n?0
21?（2）R??yn?2yn?0.6YY5n?011?RYY（3）??yn?3yn??0.45n?01?（4）R?y4?y0?0.2YY5?（m）?[1,?0.8,0.6,?0.4,0.2] ?RYYm?0,.1,??,4
?(z)?SYY
k??N?14?（k)z?RYYN?1?k?（k)z?k??RYYk??41?[5?4z?1?3z?2?2z?3?z?4?4z?3z2?2z3?z4]5
1、10：解证明：设{x（n）}为一零阶马尔可夫R.P,则其自相关函数Rx(m)??2?(m)X(z)经B（z）后输出Y（z） 则Y（z）X（z）?B（z）化简为zX（z）?zY（z）?aY（z），对此式做递z变换有，
）?Y（n?1）?aY（n），令k?n?1，有X（n）?Y（n）?aY（n?1） X（n?1
2（m）?E[X（n）X（n?m）]?R（?a[R（ RxxYm）Ym?1)?RY(m?1)]???(m)
即RY(m)???(m)?a[RY(m?1)?RY(m?1)] 由此可见,{Y(n)}为一阶马尔可夫过程。
21、11：解za?x（n）为最小相位序列，则有zi?1，i?1，2，3，??M。
由Z变换的性质Y（z）?X（），要使Y（z）为最小相位序列，即使 Y（z）的所有零点zk? 即a?*zkz?1成立，即k?1 aak?{1,2,?M}maxzk?zM
1、12：解设x（n）、y（n）为最小相位序列，则其Z变换X（z）、Y（z）对应的所有的零点 Zx，Zy都在单位圆内，其中 i?1，2，??N，k?1，2，??M。ii?x（n）*y（n），有Z（z）?X（z）Y（z），其零点的集合 令z（n）ik Zz?Zxi?1，2，??，N?Zyk?1，2，??，M?Zzn必有Zzn?1成立.
??????1.13:证明设A(z)、B（z）为两最小相位序列，则NAi
MB设A（z）?a?（z?z），B（z）?b?（z?z 00k）i?1k?1ziA〈1，ziB〈1
C（z）?A（z）?B（z）?a0?（z?z）?b0?（z?zkB）i?1k?1NM?AB?
??（z?z）a?（z?z）?b?（z?z0i0k）??j?1i?1，i?k?1，k?j??CjQNAiM??（z?zC?g（z）j）j?1Q其中ZCZiAi?1，2，??，N???ZkBk?1，2，??，M? j??显然，若g（z）的所有零点在单位圆内，则c（z）为最小单位序列，否则不是。111111举例(z?)(z?)?z2?(?5z?1)其中(z?)(z?)为最小相位序列,且z2,(?5z?1)亦为最小236236相位序列。 (z?)(z?2)?z?122321 (z?)其中(z?)(z?2)为非最小相位序列。232?N1、14：证明由Parsval等式知，（n）??h（n）?hminn?0n?022
（n）是最小相位序列，故hmin（n）具有最小时延性，其能量集中 ?hmin 在序列初始阶段，所以hmin（n）?h（n）,22 h（0）?hmin（0）
现代数字信号处理1_6章复习题答案
