第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象、性
质及简单应用
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.
322π
解析 由图象可以看出2T=π,∴T=3π=ω,因此ω=3. 答案 3
?π?
2.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin?x-6?
??的图象,则φ等于________.
解析 将函数y=sin x向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y=sin(x+φ). 11?11??π?
只有φ=6π时有y=sin?x+6π?=sin?x-6?.
????11π
答案 6
3.(2014·深圳二模)如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时,f(x)取得最大值,那么T=________,θ=________.
2ππ3π
解析 T=π=2,当x=2时,由π×2+θ=2+2kπ(k∈Z),得θ=-2+2kπ(kπ∈Z),又0<θ<2π,∴θ=2. π
答案 2 2
π?π?
4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=3对称,且f?12?=0,则
??ω的最小值为________.
π?π??π?
解析 由f?12?=0知?12,0?是f(x)图象的一个对称中心,又x=是一条对称
3????
?ω>0,
轴,所以应有?2π?ππ?-?,≤4?ω??312?
答案 2
解得ω≥2,即ω的最小值为2.
π?π?
5.(2014·长春模拟)函数f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数,
??π??
则函数f(x)在?0,2?上的最小值为________.
??
π?π??π?
解析 函数f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后得到函数为f?x+6?=
????ππ??π????
sin?2?x+6?+φ?=sin?2x+3+φ?,因为此时函数为奇函数,所以3+φ=kπ(k??????πππ
∈Z),所以φ=-3+kπ(k∈Z).因为|φ|<2,所以当k=0时,φ=-3,所以π?πππ2πππ?2x-??f(x)=sin3?.当0≤x≤2时,-3≤2x-3≤3,即当2x-3=-3时,函数?π?3??π?f(x)=sin?2x-3?有最小值为sin?-3?=-2.
????3
答案 -2 π???ππ?
6.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区间 ?3,2?上单调递
????减,则ω=________.
解析 由于函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由题意知f(x)的一
π4π
条对称轴为直线x=3,和它相邻的一个对称中心为原点,则f(x)的周期T=3,3从而ω=2. 3
答案 2
7.(2014·山东省实验中学诊断)已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=________.
π
解析 函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=2,所以xπππ3π
=4,8关于x=4对称的直线为x=8,由图象可知,通过向右平移之后,横3π17π17π3ππ
坐标为x=8的点平移到x=24,所以φ=24-8=3. π
答案 3
8.(2014·武汉模拟)设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数(其中0≤t≤24).下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t y 0 5.0 3 7.5 6 5.0 9 2.5 12 5.0 15 7.5 18 5.0 21 2.5 24 5.0 经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=h+Asin(ωx+φ)的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________.
2ππ
解析 由数据可知函数的周期T=12,又T=12=ω,所以ω=6;函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即h+A=7.5,h-A=2.5,解得h=5.0,A=2.5,
?π??π?
所以函数为y=f(x)=5.0+2.5sin?6t+φ?,又y=f(3)=5.0+2.5sin?6×3+φ?=
?????π?
7.5,所以sin?2+φ?=cos φ=1,即φ=2kπ(k∈Z),所以最能近似表示表中数
??π
据间对应关系的函数是y=5.0+2.5sin 6t. π
答案 y=5.0+2.5sin6t 二、解答题
π??
9.(2014·苏州调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的周
???2π?
期为π,且图象上有一个最低点为M?3,-3?.
??(1)求f(x)的解析式;
3
(2)求使f(x)<2成立的x的取值集合. 解 (1)由题意知:A=3,ω=2, ?4π?
由3sin?3+φ?=-3,
??4ππ
得φ+3=-2+2kπ,k∈Z, -11π
即φ=6+2kπ,k∈Z. ππ
而0<φ<2,所以k=1,φ=6. π??
故f(x)=3sin?2x+6?.
??
π?33?
(2)f(x)<2等价于3sin ?2x+6?<2,
??π?1?
即sin?2x+6?<2,
??
7πππ
于是2kπ-6<2x+6<2kπ+6(k∈Z), 2π
解得kπ-3<x<kπ(k∈Z),
??2π3
故使f(x)<2成立的x的取值集合为?x|kπ-3<x<kπ,k∈Z?.
?
?
10.(2013·济宁测试)已知函数f(x)=23sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
1(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,π
再把所得到的图象向左平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y?ππ?=g(x)在区间?-6,12?上的值域.
??解 (1)因为f(x)=23sin xcos x+2sin2x-1 π??
=3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?,
??∴函数f(x)的最小正周期为T=π, πππ
由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z, ππ
∴-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z,
π?π?
∴f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?,k∈Z.
??
1
(2)函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,得
2π??
到y=2sin?4x-6?;
??
π??π?π?
x+?-?=再把所得到的图象向左平移6个单位长度,得到g(x)=2sin?4?
??6?6?π??4x+2sin?=2cos 4x, 2???
?ππ??2ππ?当x∈?-6,12?时,4x∈?-3,3?,
????所以当x=0时,g(x)max=2, π
当x=-6时,g(x)min=-1.
?ππ?∴y=g(x)在区间?-6,12?上的值域为[-1,2].
??
能力提升题组 (建议用时:25分钟)
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练:函数y=Ainωx+φ的图象性质及简单应用



