第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性
质及简单应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
322π
解析 由图象可以看出2T＝π，∴T＝3π＝ω，因此ω＝3. 答案 3
?π?
2．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin?x－6?
??的图象，则φ等于________．
解析 将函数y＝sin x向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)． 11?11??π?
只有φ＝6π时有y＝sin?x＋6π?＝sin?x－6?.
????11π
答案 6
3．(2014·深圳二模)如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，f(x)取得最大值，那么T＝________，θ＝________.
2ππ3π
解析 T＝π＝2，当x＝2时，由π×2＋θ＝2＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－2＋2kπ(kπ∈Z)，又0＜θ＜2π，∴θ＝2. π
答案 2 2
π?π?
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝3对称，且f?12?＝0，则
??ω的最小值为________．
π?π??π?
解析 由f?12?＝0知?12，0?是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称
3????
?ω>0，
轴，所以应有?2π?ππ?－?，≤4?ω??312?
答案 2
解得ω≥2，即ω的最小值为2.
π?π?
5．(2014·长春模拟)函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜2?向左平移6个单位后是奇函数，
??π??
则函数f(x)在?0，2?上的最小值为________．
??
π?π??π?
解析 函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|＜2?向左平移6个单位后得到函数为f?x＋6?＝
????ππ??π????
sin?2?x＋6?＋φ?＝sin?2x＋3＋φ?，因为此时函数为奇函数，所以3＋φ＝kπ(k??????πππ
∈Z)，所以φ＝－3＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜2，所以当k＝0时，φ＝－3，所以π?πππ2πππ?2x－??f(x)＝sin3?.当0≤x≤2时，－3≤2x－3≤3，即当2x－3＝－3时，函数?π?3??π?f(x)＝sin?2x－3?有最小值为sin?－3?＝－2.
????3
答案 －2 π???ππ?
6．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间?0，3?上单调递增，在区间 ?3，2?上单调递
????减，则ω＝________.
解析 由于函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象经过坐标原点，由题意知f(x)的一
π4π
条对称轴为直线x＝3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝3，3从而ω＝2. 3
答案 2
7．(2014·山东省实验中学诊断)已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________.
π
解析 函数f(x)＝sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x＝2，所以xπππ3π
＝4，8关于x＝4对称的直线为x＝8，由图象可知，通过向右平移之后，横3π17π17π3ππ
坐标为x＝8的点平移到x＝24，所以φ＝24－8＝3. π
答案 3
8．(2014·武汉模拟)设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数(其中0≤t≤24)．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t y 0 5.0 3 7.5 6 5.0 9 2.5 12 5.0 15 7.5 18 5.0 21 2.5 24 5.0 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋Asin(ωx＋φ)的图象．最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．
2ππ
解析 由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝ω，所以ω＝6；函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5，
?π??π?
所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin?6t＋φ?，又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin?6×3＋φ?＝
?????π?
7.5，所以sin?2＋φ?＝cos φ＝1，即φ＝2kπ(k∈Z)，所以最能近似表示表中数
??π
据间对应关系的函数是y＝5.0＋2.5sin 6t. π
答案 y＝5.0＋2.5sin6t 二、解答题
π??
9．(2014·苏州调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜2?的周
???2π?
期为π，且图象上有一个最低点为M?3，－3?.
??(1)求f(x)的解析式；
3
(2)求使f(x)＜2成立的x的取值集合． 解 (1)由题意知：A＝3，ω＝2， ?4π?
由3sin?3＋φ?＝－3,
??4ππ
得φ＋3＝－2＋2kπ，k∈Z， －11π
即φ＝6＋2kπ，k∈Z. ππ
而0＜φ＜2，所以k＝1，φ＝6. π??
故f(x)＝3sin?2x＋6?.
??
π?33?
(2)f(x)＜2等价于3sin ?2x＋6?＜2，
??π?1?
即sin?2x＋6?＜2，
??
7πππ
于是2kπ－6＜2x＋6＜2kπ＋6(k∈Z)， 2π
解得kπ－3＜x＜kπ(k∈Z)，
??2π3
故使f(x)＜2成立的x的取值集合为?x|kπ－3＜x＜kπ，k∈Z?.
?
?
10．(2013·济宁测试)已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2sin2 x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
1(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的2，π
再把所得到的图象向左平移6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y?ππ?＝g(x)在区间?－6，12?上的值域．
??解 (1)因为f(x)＝23sin xcos x＋2sin2x－1 π??
＝3sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－6?，
??∴函数f(x)的最小正周期为T＝π， πππ
由－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ，k∈Z， ππ
∴－6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z，
π?π?
∴f(x)的单调递增区间为?－6＋kπ，3＋kπ?，k∈Z.
??
1
(2)函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得
2π??
到y＝2sin?4x－6?；
??
π??π?π?
x＋?－?＝再把所得到的图象向左平移6个单位长度，得到g(x)＝2sin?4?
??6?6?π??4x＋2sin?＝2cos 4x， 2???
?ππ??2ππ?当x∈?－6，12?时，4x∈?－3，3?，
????所以当x＝0时，g(x)max＝2， π
当x＝－6时，g(x)min＝－1.
?ππ?∴y＝g(x)在区间?－6，12?上的值域为[－1,2]．
??
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：函数y=Ainωx+φ的图象性质及简单应用
