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创新设计高考数学苏教理一轮题组训练:函数y=Ainωx+φ的图象性质及简单应用

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第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象、性

质及简单应用

基础巩固题组

(建议用时:40分钟)

一、填空题

1.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.

322π

解析 由图象可以看出2T=π,∴T=3π=ω,因此ω=3. 答案 3

?π?

2.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin?x-6?

??的图象,则φ等于________.

解析 将函数y=sin x向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y=sin(x+φ). 11?11??π?

只有φ=6π时有y=sin?x+6π?=sin?x-6?.

????11π

答案 6

3.(2014·深圳二模)如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时,f(x)取得最大值,那么T=________,θ=________.

2ππ3π

解析 T=π=2,当x=2时,由π×2+θ=2+2kπ(k∈Z),得θ=-2+2kπ(kπ∈Z),又0<θ<2π,∴θ=2. π

答案 2 2

π?π?

4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=3对称,且f?12?=0,则

??ω的最小值为________.

π?π??π?

解析 由f?12?=0知?12,0?是f(x)图象的一个对称中心,又x=是一条对称

3????

?ω>0,

轴,所以应有?2π?ππ?-?,≤4?ω??312?

答案 2

解得ω≥2,即ω的最小值为2.

π?π?

5.(2014·长春模拟)函数f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数,

??π??

则函数f(x)在?0,2?上的最小值为________.

??

π?π??π?

解析 函数f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后得到函数为f?x+6?=

????ππ??π????

sin?2?x+6?+φ?=sin?2x+3+φ?,因为此时函数为奇函数,所以3+φ=kπ(k??????πππ

∈Z),所以φ=-3+kπ(k∈Z).因为|φ|<2,所以当k=0时,φ=-3,所以π?πππ2πππ?2x-??f(x)=sin3?.当0≤x≤2时,-3≤2x-3≤3,即当2x-3=-3时,函数?π?3??π?f(x)=sin?2x-3?有最小值为sin?-3?=-2.

????3

答案 -2 π???ππ?

6.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区间 ?3,2?上单调递

????减,则ω=________.

解析 由于函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由题意知f(x)的一

π4π

条对称轴为直线x=3,和它相邻的一个对称中心为原点,则f(x)的周期T=3,3从而ω=2. 3

答案 2

7.(2014·山东省实验中学诊断)已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=________.

π

解析 函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=2,所以xπππ3π

=4,8关于x=4对称的直线为x=8,由图象可知,通过向右平移之后,横3π17π17π3ππ

坐标为x=8的点平移到x=24,所以φ=24-8=3. π

答案 3

8.(2014·武汉模拟)设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数(其中0≤t≤24).下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:

t y 0 5.0 3 7.5 6 5.0 9 2.5 12 5.0 15 7.5 18 5.0 21 2.5 24 5.0 经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=h+Asin(ωx+φ)的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________.

2ππ

解析 由数据可知函数的周期T=12,又T=12=ω,所以ω=6;函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即h+A=7.5,h-A=2.5,解得h=5.0,A=2.5,

?π??π?

所以函数为y=f(x)=5.0+2.5sin?6t+φ?,又y=f(3)=5.0+2.5sin?6×3+φ?=

?????π?

7.5,所以sin?2+φ?=cos φ=1,即φ=2kπ(k∈Z),所以最能近似表示表中数

??π

据间对应关系的函数是y=5.0+2.5sin 6t. π

答案 y=5.0+2.5sin6t 二、解答题

π??

9.(2014·苏州调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的周

???2π?

期为π,且图象上有一个最低点为M?3,-3?.

??(1)求f(x)的解析式;

3

(2)求使f(x)<2成立的x的取值集合. 解 (1)由题意知:A=3,ω=2, ?4π?

由3sin?3+φ?=-3,

??4ππ

得φ+3=-2+2kπ,k∈Z, -11π

即φ=6+2kπ,k∈Z. ππ

而0<φ<2,所以k=1,φ=6. π??

故f(x)=3sin?2x+6?.

??

π?33?

(2)f(x)<2等价于3sin ?2x+6?<2,

??π?1?

即sin?2x+6?<2,

??

7πππ

于是2kπ-6<2x+6<2kπ+6(k∈Z), 2π

解得kπ-3<x<kπ(k∈Z),

??2π3

故使f(x)<2成立的x的取值集合为?x|kπ-3<x<kπ,k∈Z?.

?

?

10.(2013·济宁测试)已知函数f(x)=23sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

1(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,π

再把所得到的图象向左平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y?ππ?=g(x)在区间?-6,12?上的值域.

??解 (1)因为f(x)=23sin xcos x+2sin2x-1 π??

=3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?,

??∴函数f(x)的最小正周期为T=π, πππ

由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z, ππ

∴-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z,

π?π?

∴f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?,k∈Z.

??

1

(2)函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,得

2π??

到y=2sin?4x-6?;

??

π??π?π?

x+?-?=再把所得到的图象向左平移6个单位长度,得到g(x)=2sin?4?

??6?6?π??4x+2sin?=2cos 4x, 2???

?ππ??2ππ?当x∈?-6,12?时,4x∈?-3,3?,

????所以当x=0时,g(x)max=2, π

当x=-6时,g(x)min=-1.

?ππ?∴y=g(x)在区间?-6,12?上的值域为[-1,2].

??

能力提升题组 (建议用时:25分钟)

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