百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
可得H(22，,0)，F(0，2,0)， 2222，,0),GF(0，2,0)， 22故GH?(设n?(x,y,z)是平面FGH的一个法向量，则
???n?GH?0?x?y?0由? 可得?
n?GF?02y?z?0????可得 平面FGH的一个法向量n?(1,?1,2)，
（2,0,0）因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB?，
所以cosGB,n?GB?n21??，
|GB|?|n|222?所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60． 解法二：作HM?AC与点M，作MN?GF与点N，连接NH． 由FC?平面ABC，得HM?FC， 又FC?AC?C，所以HM?平面ACFD， 因此GF?NH，所以?MNH即为所求的角， 在?BGC中，MH∥BG，MH?12BG?， 22由?GNM~?GCF，可得
6MNGM?，从而MN?，
6FCGF由 HM?平面ACFD，MN?平面ACFD，得 HM?MN， 因此 tan?MNH?HM?3，所以 ?MNH?60?， MN所以 平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60?． 18．【解析】（Ⅰ）在图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，
?BAD=
?，所以BE?AC． 2即在图2中，BE?OA1，BE?OC．从而BE?平面A1OC． 又CD∥BE，所以CD?平面A1OC． 16
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
（Ⅱ）由已知，平面A1BE?平面BCDE，又由（Ⅰ）知，BE?OA1，BE?OC． 所以?A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，所以?A1OC?如图，以O为原点，建立空间直角坐标系， 因为A1B所以B(?2．
A1EBCED1，BCED
2222,0,0)，E(?,0,0)，A1(0,0,)，C(0,,0)． 2322222,,0), A1C(0,,2222)，CDBE(22,0,0)．
得BC(设平面A1BC的法向量n1(x1,y1,z1)，平面A1CD的法向量n2(x2,y2,z2)，
平面A1BC与平面A1CD夹角为?，
???x1?y1?0?n1?BC?0则?，得?，取n1y?z?0?11??n1?A1C?0(1,1,1)，
??x2?0?n2?CD?0，得，取n2?(0,1,1)， ???y2?z2?0??n2?A1C?0从而cos??|cos?n1,n2?|?26， ?33?26． 3即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为
19．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB．
EO?平面AEC,PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC．
（Ⅱ）因为PA?平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系A?xyz，
则D(0,3,0),E(0,3131,),AE?(0,,)． 222217
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
设B(m,0,0)(m?0)，则C(m,3,0),AC?(m,3,0)． 设n1?(x,y,z)为平面AEC的法向量，
?mx?3y?0,?n?AC?0,3??1n?(,?1,3)． 则?即?3，可取11my?z?0,??n1?AE?0,??22又n2?(1,0,0)为平面DAE的法向量， 由题设cosn1,n2?3113?，即，解得． m?23?4m222因为E为PD的中点，所以三棱锥E?ACD的高为
1． 2三棱锥E?ACD的体积V?11313??3???． 3222820．【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB?2CD，
所以AB∥MA且CD?MA，连接AD1
?ABCD?A1B1C1D1为四棱柱，?CD//C1D1 CD?C1D1
又?M为AB的中点，?AM?1
?CD//AM,CD?AM ?AM//C1D1,AM?C1D1
?AMC1D1为平行四边形，?AD1//MC1
又?C1M?平面A1ADD1 ，AD1?平面A1ADD1，?AD1//平面A1ADD1． （Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）知 平面D1C1M作CN?AB，连接D1N
则?D1NC即为所求二面角C1?AB?C的平面角．
0在Rt?BNC中，BC?1?NBC?60 ?CN?平面ABCD=AB
3 2在Rt?D1CN中，cos?D1NC?CN5． ?D1N518
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
方法二：连接AC,MC，由（Ⅰ）知CD∥AM且CD?AM
∴AMCD为平行四边形．可得BC?AD?MC，由题意?ABC??DAB?60， 所以?MBC为正三角形．
因此AB?2BC?2,CA?3，∴CA?CB．
以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系， 设平面C1D1M的法向量为n?(x1,y1,z1) 显然平面ABCD的法向量为n2?(1,0,0) 显然二面角为锐角，
所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值为21．【解析】（Ⅰ）（方法一）∵BC?BD,DF?FC，
且?CBD?120?，∴ΔBCF为RT三角形，
5 5BF?FC．同理，∵BC?BA,AE?EC，
且?ABC?120?，ΔBCE为RT三角形
BE?EC，∴ΔBCF?ΔBCE，
过E作EO?BC，垂足为O，连接OF， 可证出?EOC??FOC， 所以?EOC??FOC??2，即FO?BC．
从而证出BC?面EOF，又EF?面EOF，所以EF?BC．
（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，
BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空
问直角坐标系．易得B?0,0,0?，A(0,?1,3)，
13D(3,?1,0)，C(0,2,0)．因而E(0,,)，
22F(3133,,0)，∴EF?(,0,?)， 222219
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！
BC?(0,2,0)，因此EFBC?0，
∴EF?BC，所以EF?BC．
（Ⅱ）如上图中，平面BFC的一个法向量为n1?(0,0,1)．设平面BEF的法向量
n2?(x,y,z)，又BF?(3113,,0)，BE?(0,,)， 2222??n2?BF?0由?得其中n2?(0,?3,1)． ??n2?BE?0设二面角E?BF?C大小为?，且由题意知?为锐角
cos??cos?n1,n2??n1n21225，因此sin??， ??n1n255525． 5即所求二面角的正弦值为
22．【解析】（Ⅰ）连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C?BC1,且O为B1C及BC1的中点. 又AB?B1C,所以B1C?平面ABO. 又B1O?CO,故AC=AB1.
（Ⅱ）因为AC?AB1,且O为B1C的中点，所以AO?CO. 又因为AB?BC,所以?BOA??BOC，
故OA?OB,从而OA,OB,OB1两两相互垂直，
OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，以O为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz．
因为?CBB1?60?,所以?CBB1为等边三角形.又AB?BC，则 则cosn,m?n?m1?. nm7平面BCD?BD,AB?平面
23．【解析】：（Ⅰ）因为ABD?平面BCD,平面ABD20
专题八 立体几何第二十四讲 空间向量与立体几何答案 (1)
