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高中数学中基本不等式的最值问题
作者:钱雪琴
来源:《数学教学通讯·中等教育》2014年第06期
摘 要:本文通过基本不等式的典型题目的教学,让学生体会到如何在数学题目的千变万化中,抓住数学思想的本质内涵,以不变应万变,灵活地解决数学问题,从而更好地提高课堂效率,减轻学生负担.
关键词:基本不等式;最值;方法?摇
高三的复习课对课堂效率提出了更高的要求,老师需要对课堂进行准确的调控,对复习题进行合理的安排,以更好地提高课堂教学效率,减轻学生的学习负担. 在课前的准备中,题目的选取是其中关键的一步,而题目的选取又取决于题目难度的循序渐进,既要考虑到学生对已有知识的掌握程度,又要考虑到学生能否通过典型题目的练习与训练,达到温故而知新的目的,加深学生对题目的理解程度,从而提高学生对数学学习的兴趣,锻炼学生思维的深度与广度.
在教学基本不等式时,学生对于概念的掌握比较轻松,ab≤■(a>0,b>0),能够总结三点要求,做到一正,即a>0,b>0;二定,即a+b能取到最小值时,ab为定值,或者ab能取到最大值时,a+b为定值;三相等,当且仅当a=b时,等号成立. 在熟练掌握了这三个条件后,要求学生能够顺利解决各类基本不等式的问题. 但是,实际上,有些问题在运用基本不等式时,会有多种解题方法与思路,而有些解题方法看似简单,实则不具有解题的完备性和代表性,这里充分体现了基本不等式知识点的灵活性. 其中有一类基本不等式问题,形式相似,但是却遇到了适合各自的不同的解题方法,不妨看下面几道题目. 例1 已知a>0,b>0,a+b-ab=0,求a+b的最小值.
解法一:由a+b-ab=0?圯a+b=ab. 因为a+b≥2■,所以ab≥2■?圯ab≥4.所以a+b≥4,当且仅当a=b时,等号成立.
解法二:由a+b-ab=0?圯■+■=1,则a+b=(a+b)■+■=1+■+■+1≥4. 当且仅当■=■,即a=b时,等号成立.
解法三:由a+b-ab=0?圯a=■,则a+b=■+b=■=■=b-1+■+2≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立.
解法一中,直接利用基本不等式,由已知条件出发,利用不等式的传递性,直接找到已知条件与求解之间的关系,学生比较容易想到,属于解基本不等式中的基本方法. 解法二中,在运用基本不等式时借助了“1”的代换,也是从已知条件出发,结合求解式子的特征,巧妙地运用了基本不等式特殊的结构,在这儿虽然“1”的代换的方法具有一定的技巧性,但是便于学生
高中数学中基本不等式的最值问题
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