所以10MN?EM?EN,……12分 3又由余弦定理可知,MN2?EM2?EN2?2EM?EN?cos≥EM?EN,……13分
π3当且仅当EM?EN时,等号成立,所以MN2≥10310……14分; MN,解得MN≥33答:(1)路灯在路面的照明宽度为73m; 2(2)照明宽度MN的最小值为103m.……16分 319.(本小题满分16分)已知函数f(x)?13x?2x2?3x(x?R)的图象为曲线C. 3(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围;
(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐
标的取值范围;
(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条
件的所有直线方程;若不存在,说明理由.
【解】(1)f?(x)?x?4x?3,则k?f?(x)?(x?2)2?1??1, ----------4分
2??k1??1(2)由(1)可知,?---------------------------------------------------------6分
???1??k得:x???,2?2?(1,3)?2????22,??;-------------------------------9分
?(3)设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B(x2,y2),x1?x2,
过A(x1,y1)的切线方程是: y?(x1?4x1?3)x?(?分
同理:过B(x2,y2)的切线方程是y?(x2?4x2?3)x?(?22232-----------------11x1?2x1),
3232x2?2x2), 32 则有:x1?4x1?3?x2?4x2?3,得x1?x2?4,----------------------13分 又由? 即?232322x1?2x1??x2?2x2, 33222(x1?x2)(x1?x1x2?x2)?2(x1?x2)(x1?x2)?0 3 ?1222(x1?x1x2?x2)?4?0,即x1(x1?x2)?x2?12?0 322 即(4?x2)?4?x2?12?0,x2?4x2?4?0
得x2?2,由x1?x2?4得x1?2,这与x1?x2矛盾,所以不存在----------16分 20.(本小题满分16分)
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,已知a1?1,且anSn?1?an?1Sn?an?1??an对一切n?N*都成立. (1)当??1时;,
①求数列?an?的通项公式;
②若bn?(n?1)an,求数列?bn?的前n项的和Tn;
(2)是否存在实数λ,使数列?an?是等差数列.如果存在,求出?的值;若不存在,
说明理由.
【详解】(1)①若??1,因为anSn?1?an?1Sn?an?1??an 则?Sn?1?1?an??Sn?1?an?1,a1?S1?1.
Sn?1?1an?1?又∵an?0,Sn?0,∴,
Sn?1anSn?1?1a2a3an?1S2?1S3?1?????????????∴, S1?1S2?1Sn?1a1a2an化简,得Sn?1?1?2an?1. ① ∴当n?2时,Sn?1?2an. ② ②-①,得an?1?2an,∴
an?1?2?n?2?. an∵当n?1时,a2?2,∴n?1时上式也成立,
n-1∴数列?an?是首项为1,公比为2的等比数列,an=2.………………4分
②因为bn??n?1?an,∴bn??n?1??2n?1
012n?2n?1所以Tn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2 123n?1n所以2Tn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2
将两式相减得:
?Tn?2?21?22?L?2n?1?(n?1)?2n
2(1?2n?1)?2??(n?1)?2n??n?2n
1?2n所以Tn?n?2………………8分
(2)令n?1,得a2???1.令n?2,得a3????1?. 要使数列?an?是等差数列,必须有2a2?a1?a3,解得??0. 当??0时,Sn?1an??Sn?1?an?1,且a2?a1?1.………………10分 当n?2时,Sn?1?Sn?Sn?1???Sn?1??Sn?1?Sn?,
2整理,得Sn?Sn?Sn?1Sn?1?Sn?1,
2Sn?1Sn?1?,
Sn?1?1Sn从而
S?1S3S4SS2?1S3?1??????n???????n?1, S1?1S2?1Sn?1?1S2S3Sn化简,得Sn?1?Sn?1,所以an?1?1. 综上所述,an?1n?N?*?,
所以??0时,数列?an?是等差数列. ………………16分
数学附加试卷
(满分40分,考试时间30分钟) 21A.(本小题满分10分) 己知矩阵
,其中
,点P(2,2)在矩阵的变换下得到的点Q(2,4)·
(1)求实数a,b的值: (2)求矩阵A的逆矩阵.
解:(1)因为??a?1??2??2????, ????b1??2??4?所以??2a?2?2?a?2所以?.………………5分
?2b?2?4?b?12?111?3,
1?3?.………………10分 2??3???),B( 9,),线段AB的垂直平分线l与极轴交于33(2)det(A)??1??1?1??3???3A?1??312??1?????3??3?321B.在极坐标系中,已知A( 1,
点C,求l的极坐标方程及?ABC的面积. 解:由题意,线段AB的中点坐标为(5,),
3设点P(?,?)为直线l上任意一点, 在直角三角形OMP中,?cos(??)?5,
3所以,l的极坐标方程为?cos(??)?5,………………5分
3令??0,得??10,即C(10,0).(8分)
???1?所以,?ABC的面积为:?(9?1)?10?sin?203.………………10分
2322.(本小题満分10分)
?m(x?1)?2,x?0,?x已知函数f(x)??是奇函数.
1?2(x?)?n,x?0x?(1)求实数m,n的值:
(2)若对任意实数x,都有f(e)??f(e)?0成立.求实数的取值范围.
2xx
23.(本小题满分10分)
已知?1?x?2n?1?a0?a1x?a2x?…?a2n?1x22n?1,记Tn?n?N.
*??2k?1?ak?0nn?k.
(1)求T2的值;
(2)化简Tn的表达式,并证明:对任意的n?N*,Tn都能被4n?2整除.
210解:(1)T2?a2?3a1?5a0?C5?3C5?5C5?30.………………3分
(2) ∵?n?1?k?Cnn?1?k2n?12n?1?!2n?1???2n?!??n?k??n?1?k?????2n?1?C2n
?n?1?k?!?n?k?!?n?k?!?n?k?!???2k?1?Ck?0n?1?k2n?1nn?k2n?1n?1?k???2k?1?C2n?1 k?0n∴Tn?n??2k?1?ak?0n?k????2?n?1?k???2n?1???Ck?0?2??n?1?k?Ck?0nn?1?k2n?1n?1?k??2n?1??C2n?1
k?0n?2?2n?1??Ck?0nn?k2n12n12n?1?1?kn??2n?1??Cn?22n?1??2?C?2n?1??2??2n?1?Cn????2n?12n2n22k?0n??
………………7分
n?1nn∴Tn??2n?1?Cn2n??2n?1?C2n?1?C2n?1?2?2n?1?C2n?1.
??∵C2n?1?N,
∴Tn能被4n?2整除.………………10分
n*
江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷含答案
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