所以10MN?EM?EN,……12分 3又由余弦定理可知，MN2?EM2?EN2?2EM?EN?cos≥EM?EN，……13分
π3当且仅当EM?EN时，等号成立，所以MN2≥10310……14分； MN，解得MN≥33答：（1）路灯在路面的照明宽度为73m； 2（2）照明宽度MN的最小值为103m.……16分 319．（本小题满分16分）已知函数f(x)?13x?2x2?3x（x?R）的图象为曲线C． 3（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐
标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条
件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
【解】（1）f?(x)?x?4x?3，则k?f?(x)?(x?2)2?1??1， ----------4分
2??k1??1（2）由（1）可知，?---------------------------------------------------------6分
???1??k得：x???,2?2?(1,3)?2????22,??；-------------------------------9分
?（3）设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2)，x1?x2，
过A(x1,y1)的切线方程是： y?(x1?4x1?3)x?(?分
同理：过B(x2,y2)的切线方程是y?(x2?4x2?3)x?(?22232-----------------11x1?2x1)，
3232x2?2x2)， 32 则有：x1?4x1?3?x2?4x2?3，得x1?x2?4，----------------------13分 又由? 即?232322x1?2x1??x2?2x2， 33222(x1?x2)(x1?x1x2?x2)?2(x1?x2)(x1?x2)?0 3 ?1222(x1?x1x2?x2)?4?0，即x1(x1?x2)?x2?12?0 322 即(4?x2)?4?x2?12?0，x2?4x2?4?0
得x2?2，由x1?x2?4得x1?2，这与x1?x2矛盾，所以不存在----------16分 20．（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，且anSn?1?an?1Sn?an?1??an对一切n?N*都成立． （1）当??1时；，
①求数列?an?的通项公式；
②若bn?(n?1)an,求数列?bn?的前n项的和Tn;
（2）是否存在实数λ，使数列?an?是等差数列.如果存在，求出?的值；若不存在，
说明理由.
【详解】(1)①若??1，因为anSn?1?an?1Sn?an?1??an 则?Sn?1?1?an??Sn?1?an?1，a1?S1?1.
Sn?1?1an?1?又∵an?0，Sn?0，∴，
Sn?1anSn?1?1a2a3an?1S2?1S3?1?????????????∴， S1?1S2?1Sn?1a1a2an化简，得Sn?1?1?2an?1. ① ∴当n?2时，Sn?1?2an. ② ②－①，得an?1?2an，∴
an?1?2?n?2?. an∵当n?1时，a2?2，∴n?1时上式也成立，
n-1∴数列?an?是首项为1，公比为2的等比数列，an=2.………………4分
②因为bn??n?1?an，∴bn??n?1??2n?1
012n?2n?1所以Tn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2 123n?1n所以2Tn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2
将两式相减得：
?Tn?2?21?22?L?2n?1?(n?1)?2n
2(1?2n?1)?2??(n?1)?2n??n?2n
1?2n所以Tn?n?2………………8分
(2)令n?1，得a2???1.令n?2，得a3????1?. 要使数列?an?是等差数列，必须有2a2?a1?a3，解得??0. 当??0时，Sn?1an??Sn?1?an?1，且a2?a1?1.………………10分 当n?2时，Sn?1?Sn?Sn?1???Sn?1??Sn?1?Sn?，
2整理，得Sn?Sn?Sn?1Sn?1?Sn?1，
2Sn?1Sn?1?，
Sn?1?1Sn从而
S?1S3S4SS2?1S3?1??????n???????n?1， S1?1S2?1Sn?1?1S2S3Sn化简，得Sn?1?Sn?1，所以an?1?1. 综上所述，an?1n?N?*?，
所以??0时，数列?an?是等差数列. ………………16分
数学附加试卷
（满分40分，考试时间30分钟） 21A．（本小题满分10分） 己知矩阵
，其中
，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·
（1)求实数a，b的值： （2）求矩阵A的逆矩阵．
解：（1）因为??a?1??2??2????， ????b1??2??4?所以??2a?2?2?a?2所以?．………………5分
?2b?2?4?b?12?111?3，
1?3?．………………10分 2??3???)，B( 9，)，线段AB的垂直平分线l与极轴交于33（2）det(A)??1??1?1??3???3A?1??312??1?????3??3?321B．在极坐标系中，已知A( 1，
点C，求l的极坐标方程及?ABC的面积． 解：由题意，线段AB的中点坐标为(5,)，
3设点P(?,?)为直线l上任意一点， 在直角三角形OMP中，?cos(??)?5，
3所以，l的极坐标方程为?cos(??)?5，………………5分
3令??0，得??10，即C(10,0)．（8分）
???1?所以，?ABC的面积为：?(9?1)?10?sin?203．………………10分
2322.(本小题満分10分)
?m(x?1)?2,x?0,?x已知函数f(x)??是奇函数.
1?2(x?)?n,x?0x?（1）求实数m，n的值：
（2）若对任意实数x，都有f(e)??f(e)?0成立.求实数的取值范围.
2xx
23．（本小题满分10分）
已知?1?x?2n?1?a0?a1x?a2x?…?a2n?1x22n?1，记Tn?n?N．
*??2k?1?ak?0nn?k．
（1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除．
210解：（1）T2?a2?3a1?5a0?C5?3C5?5C5?30．………………3分
（2） ∵?n?1?k?Cnn?1?k2n?12n?1?!2n?1???2n?!??n?k??n?1?k?????2n?1?C2n
?n?1?k?!?n?k?!?n?k?!?n?k?!???2k?1?Ck?0n?1?k2n?1nn?k2n?1n?1?k???2k?1?C2n?1 k?0n∴Tn?n??2k?1?ak?0n?k????2?n?1?k???2n?1???Ck?0?2??n?1?k?Ck?0nn?1?k2n?1n?1?k??2n?1??C2n?1
k?0n?2?2n?1??Ck?0nn?k2n12n12n?1?1?kn??2n?1??Cn?22n?1??2?C?2n?1??2??2n?1?Cn????2n?12n2n22k?0n??
………………7分
n?1nn∴Tn??2n?1?Cn2n??2n?1?C2n?1?C2n?1?2?2n?1?C2n?1．
??∵C2n?1?N，
∴Tn能被4n?2整除．………………10分
n*
江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷含答案
