江苏省南通市2020届四校联盟
高三数学模拟测试卷
一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上） 1．已知集合A??x|x?3|?1?，B?xx2?5x?4?0，则AIB? ▲ ．?4?
??2，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为 ▲ ．1?i 1?irrrr3．设向量a＝(l，k)，b＝(﹣2，k﹣3)，若a∥b，则实数k的值为 ▲ ．1
2.复数z?4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．
10 11
5．函数f(x) =
log（14x?3)的定义域为 ▲.(-3/4,1] 26．已知命题p：－1
7．在正四棱锥S﹣ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2√3，则该棱锥的体积为 ▲ ．32/3
8．若函数f(x)?cos(2x??)(0????)的图象关于直线x?▲ ．
?12对称，则?＝
5? 61x2y29．已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)的离心率e?，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是
ab2椭
圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为?、?，则
cos(???)的值为
cos(???) ▲ ．
1 7uuuruuuruuuruuuruuuruuurPA?PBruuur= ▲ ． 10．在?ABC所在的平面上有一点P，满足PA?PB?PC?AB，则uuuPB?PC1? 211.如图，将数列
?an?中的所有项按每一行比上一行多两项的规
则排成数表.已知表中的第一列a,a,a,L构成一个公比为2
125的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a?5,a?524，则d= ▲ ． 3
38612．己知x?(0，3)，则y?2x?817?的最小值为 ▲ ． x?32x213.若函数f(x) = x3-ax?x?2, x>0存在零点，则实数a的取值范围为▲.[2,+∞) 14．已知f(x)?m(x?2m)(x?m?3)，g(x)?2x?2，若同时满足条件： ①?x?R，f(x)?0或g(x)?0；②?x?(??,?4)，f(x)g(x)?0． 则m的取值范围是 ．(?4,?2)
二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的
中点．
（1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P．
D1C1（1）证明：连结AC交BD于O点，连结OP，
A1B1因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，
P所以O点是AC的中点，所以AO?OC．
又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP?PC1．
AOC1P??1, 在?ACC1中，
OCPC所以AC1//OP．………………4分
又因为OP?面PBD，AC1?面PBD， 所以AC1//平面PBD．………………7分 （2）证明：连结A1C1.
因为ABCD?A1B1C1D1为直四棱柱， 所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，
DAD1A1B1CBC1PDAOBC又BD?平面ABCD，所以CC1?BD．
因为底面ABCD是菱形，所以AC?BD．
又ACICC1?C，AC?面AC1,CC1?面AC1,所以BD?面AC1．………………10分 又因为P?CC1,CC1?面ACC1A1,所以P?面ACC1A1，因为A1?面ACC1A1， 所以A1P?面AC1，
所以BD?A1P．………………14分
16．（本小题满分14分）
4
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
5sinB
（1）若c＝2a，求的值；
sinCπ
（2）若C－B＝，求sinA的值．
4解：（1）解法1：
a2＋c2－b244
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分
52ac5
c
()2＋c2－b224b29b35
因为c＝2a，所以＝，即2＝，所以＝．………………4分
c5c20c102c×2sinBbsinB35又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
sinCcsinC10解法2：
43
因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝．………………2分
55因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
68
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
5525
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
5sinB35所以＝．………………6分
sinC10
47
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分
5253
又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝，
5
3424
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
5525ππ3π
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
444
所以sinA＝sin(
3π3π3π－2B)＝sincos2B－cossin2B＝444
312
．………………14分 50
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
yAFOPBC:xy??1?a＞b＞0?22F?1,0?ab的右焦点为，且过点
22x3(1,)．过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于2uuuruuuruuurOA?OB?tOP?t＞0?A,B两点，点P在椭圆上，且满足．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）若t?.解：（1）由题意可知，c?1，且解得a?2,b?3，………2分
（第17题）
2，求直线AB的方程． 219222，又因为， a?b?c??122a4bx2y2??1………4分； 所以椭圆C的标准方程为43（2）若直线AB的斜率不存在，则易得A(1,),B(1,?)，?OA?OB?(2,0)?得P(22,0)，显然点P不在椭圆上，舍去………5分； 因此设直线l的方程为y?k?x?1?，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
3232uuurr2uuuOP，2?y?k?x?1??将直线l的方程与椭圆C的方程联立?x2y2，整理得
?1???43(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0………7分，
4k2?6k2?18k2因为x1,2?，所以x1?x2?………8分，
3?4k23?4k2uuuruuur则由OA?OB??x1?x2,k?x1?x2?2???r2uuuOP， 2得P(2(x1?x2),2k(x1?x2?2))………10分
222将P点坐标代入椭圆C的方程，得3(x1?x2)?4k(x1?x2?2)?6(?)………11分
38k232(?);将x1?x2?………12分， k?带入等式得，?k??243?4k2因此所求直线AB的方程为y??3?x?1?………14分 2设直线l的方程为x?my?1求解亦可
18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，
CD,CE为路灯灯杆，CD?AB，?DCE?2π，在E处安装路灯，且路灯的照明张3EC角?MEN?π．已知CD?4m,CE?2m． 3（1）当M,D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值． 解：（1）当M,D重合时， 由
余
弦
定
理
知
，
ADM（第18题）
NBME?DE?CD2?CE2?2CD?CE?cos?DCE?27，
CD2?DE2?CE257?所以cos?CDE?……2分，
2CD?DE14因为?CDE??EMN?57π，所以sin?EMN?cos?CDE?，
1422因为cos?EMN＞0，所以cos?EMN?1?sin?EMN?因为?MEN?21，……4分 14π?2π???EMN? ，所以sin?ENM?sin?3?3??sin2π2π27cos?EMN?cossin?EMN?……6分 33773MNEM，解得MN?……8分； ?2sin?MENsin?ENM?2ππ????5m，……10分 ?32??在?EMN中，由正弦定理可知，（2）易知E到地面的距离h?4?2sin?由三角形面积公式可知，S△EMN?11π?MN?5?EM?EN?sin， 223
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