江苏省南通市2020届四校联盟
高三数学模拟测试卷
一、填空题(共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上) 1.已知集合A??x|x?3|?1?,B?xx2?5x?4?0,则AIB? ▲ .?4?
??2,(其中i是虚数单位),则复数z的共轭复数为 ▲ .1?i 1?irrrr3.设向量a=(l,k),b=(﹣2,k﹣3),若a∥b,则实数k的值为 ▲ .1
2.复数z?4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 .
10 11
5.函数f(x) =
log(14x?3)的定义域为 ▲.(-3/4,1] 26.已知命题p:-1
7.在正四棱锥S﹣ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2√3,则该棱锥的体积为 ▲ .32/3
8.若函数f(x)?cos(2x??)(0????)的图象关于直线x?▲ .
?12对称,则?=
5? 61x2y29.已知椭圆2?2?1(a>b>0)的离心率e?,A、B分别是椭圆的左、右顶点,P是
ab2椭
圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为?、?,则
cos(???)的值为
cos(???) ▲ .
1 7uuuruuuruuuruuuruuuruuurPA?PBruuur= ▲ . 10.在?ABC所在的平面上有一点P,满足PA?PB?PC?AB,则uuuPB?PC1? 211.如图,将数列
?an?中的所有项按每一行比上一行多两项的规
则排成数表.已知表中的第一列a,a,a,L构成一个公比为2
125的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为d的等差数列,若a?5,a?524,则d= ▲ . 3
38612.己知x?(0,3),则y?2x?817?的最小值为 ▲ . x?32x213.若函数f(x) = x3-ax?x?2, x>0存在零点,则实数a的取值范围为▲.[2,+∞) 14.已知f(x)?m(x?2m)(x?m?3),g(x)?2x?2,若同时满足条件: ①?x?R,f(x)?0或g(x)?0;②?x?(??,?4),f(x)g(x)?0. 则m的取值范围是 .(?4,?2)
二、解答题(共6小题,共90分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分14分)
如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,点P是侧棱C1C的
中点.
(1)求证:AC1∥平面PBD; (2)求证:BD⊥A1P.
D1C1(1)证明:连结AC交BD于O点,连结OP,
A1B1因为四边形ABCD是正方形,对角线AC交BD于点O,
P所以O点是AC的中点,所以AO?OC.
又因为点P是侧棱C1C的中点,所以CP?PC1.
AOC1P??1, 在?ACC1中,
OCPC所以AC1//OP.………………4分
又因为OP?面PBD,AC1?面PBD, 所以AC1//平面PBD.………………7分 (2)证明:连结A1C1.
因为ABCD?A1B1C1D1为直四棱柱, 所以侧棱C1C垂直于底面ABCD,
DAD1A1B1CBC1PDAOBC又BD?平面ABCD,所以CC1?BD.
因为底面ABCD是菱形,所以AC?BD.
又ACICC1?C,AC?面AC1,CC1?面AC1,所以BD?面AC1.………………10分 又因为P?CC1,CC1?面ACC1A1,所以P?面ACC1A1,因为A1?面ACC1A1, 所以A1P?面AC1,
所以BD?A1P.………………14分
16.(本小题满分14分)
4
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=.
5sinB
(1)若c=2a,求的值;
sinCπ
(2)若C-B=,求sinA的值.
4解:(1)解法1:
a2+c2-b244
在△ABC中,因为cosB=,所以=.………………2分
52ac5
c
()2+c2-b224b29b35
因为c=2a,所以=,即2=,所以=.………………4分
c5c20c102c×2sinBbsinB35又由正弦定理得=,所以=.………………6分
sinCcsinC10解法2:
43
因为cosB=,B∈(0,π),所以sinB=1-cos2B=.………………2分
55因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,
68
所以sinC=2sin(B+C)=cosC+sinC,即-sinC=2cosC.………………4分
5525
又因为sin2C+cos2C=1,sinC>0,解得sinC=,
5sinB35所以=.………………6分
sinC10
47
(2)因为cosB=,所以cos2B=2cos2B-1=.………………8分
5253
又0<B<π,所以sinB=1-cos2B=,
5
3424
所以sin2B=2sinBcosB=2××=.………………10分
5525ππ3π
因为C-B=,即C=B+,所以A=π-(B+C)=-2B,
444
所以sinA=sin(
3π3π3π-2B)=sincos2B-cossin2B=444
312
.………………14分 50
17.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
yAFOPBC:xy??1?a>b>0?22F?1,0?ab的右焦点为,且过点
22x3(1,).过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于2uuuruuuruuurOA?OB?tOP?t>0?A,B两点,点P在椭圆上,且满足.
(1)求椭圆C的标准方程;(2)若t?.解:(1)由题意可知,c?1,且解得a?2,b?3,………2分
(第17题)
2,求直线AB的方程. 219222,又因为, a?b?c??122a4bx2y2??1………4分; 所以椭圆C的标准方程为43(2)若直线AB的斜率不存在,则易得A(1,),B(1,?),?OA?OB?(2,0)?得P(22,0),显然点P不在椭圆上,舍去………5分; 因此设直线l的方程为y?k?x?1?,设A(x1,y1),B(x2,y2),
3232uuurr2uuuOP,2?y?k?x?1??将直线l的方程与椭圆C的方程联立?x2y2,整理得
?1???43(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0………7分,
4k2?6k2?18k2因为x1,2?,所以x1?x2?………8分,
3?4k23?4k2uuuruuur则由OA?OB??x1?x2,k?x1?x2?2???r2uuuOP, 2得P(2(x1?x2),2k(x1?x2?2))………10分
222将P点坐标代入椭圆C的方程,得3(x1?x2)?4k(x1?x2?2)?6(?)………11分
38k232(?);将x1?x2?………12分, k?带入等式得,?k??243?4k2因此所求直线AB的方程为y??3?x?1?………14分 2设直线l的方程为x?my?1求解亦可
18.(16分)某校要在一条水泥路边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,AB为地面,
CD,CE为路灯灯杆,CD?AB,?DCE?2π,在E处安装路灯,且路灯的照明张3EC角?MEN?π.已知CD?4m,CE?2m. 3(1)当M,D重合时,求路灯在路面的照明宽度MN; (2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值. 解:(1)当M,D重合时, 由
余
弦
定
理
知
,
ADM(第18题)
NBME?DE?CD2?CE2?2CD?CE?cos?DCE?27,
CD2?DE2?CE257?所以cos?CDE?……2分,
2CD?DE14因为?CDE??EMN?57π,所以sin?EMN?cos?CDE?,
1422因为cos?EMN>0,所以cos?EMN?1?sin?EMN?因为?MEN?21,……4分 14π?2π???EMN? ,所以sin?ENM?sin?3?3??sin2π2π27cos?EMN?cossin?EMN?……6分 33773MNEM,解得MN?……8分; ?2sin?MENsin?ENM?2ππ????5m,……10分 ?32??在?EMN中,由正弦定理可知,(2)易知E到地面的距离h?4?2sin?由三角形面积公式可知,S△EMN?11π?MN?5?EM?EN?sin, 223
江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷含答案
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