第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共8题，满分160分。
一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为?；物块边长为b，密度为?'，且?'??。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
1
二、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。
（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。
（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。
2、如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为RX处有一卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。
6已知：地球质量M?6.0?10kg，半径Re?6.4?10m的球体；引力恒量
24G?6.7?10?11N?m2?kg?2；地球自转周期Te?24小时；假设卫星与太空电梯脱落
后只受地球引力作用。
2
三、（25分）如图所示，两根刚性轻杆AB和BC在
B段牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角?为
锐角，杆BC长为l，杆AB长为lcos?。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB延长线与挡板垂直。现使该系
统以大小为v0、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角?应满足的条件。
3
四、（21分）如图所示，虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为S，极板间距为d（d??S）。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接，
电池电动势恒定、大小为?。忽略电容器的边缘效应，静电力常量k已知。
1、若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距离变为，求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。
2、在电容器两极板的距离变为2d后，再将一块与电容器a的极板形状相同、面积也为S、带电荷量为Q（Q?0）的金属薄板沿平行于a的极板方向全部插入到电容器a中，使金属薄板距电容器a左极板的距离为x。求此时电容器a的左极板所带的电荷量。
解：
参考解答：
1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容Ct1满足下式
1?n （1）
Ct12C即
Ct1?式中
2C （2） nS （3） 4?kd虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2满足下式
C?
即
111?1??2???????? （4） Ct2?2C4C8C?C （5） 2整个电容网络的等效电容为
Ct2? Ct?CtC2C1t2 （6） ?Ct1?Ct2n?4等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）
S? qt?Ct?? （7）
(n?4)2?kd
当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等
4
效电容Ct1?满足下式 由此得
1n?12 （8） ???Ct12C3C6C （9） 3n?1整个电容网络的等效电容为
?? Ct1 Ct???Ct2Ct16C （10） ???Ct23n?13Ct1整个电容网络的等效电容器带的电荷量为
3S? （11）
(3n?13)2?kd在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变
qt??Ct???为
?qt?qt??qt??（12）
电容器储能变化为
1S?222 ?U??Ct???Ct???? （13）
22(3n?13)(n?4)2?kdS?
(3n?13)(n?4)2?kd在此过程中，电池所做的功为 A??qt???（14）
外力所做的功为
S?2 A???U?A? （15）
2(3n?13)(n?4)2?kdS?2
(3n?13)(n?4)2?kd
2.设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q?，金属薄板左侧带电荷量为?q?，右侧带电荷量为(q??Q)，a的右极板带电荷量为?(q??Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q??和?q??.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有
q??q?(q??Q) （16） ??SSC4?kx4?k(2d?x)由（2）式和上式得
2d?x q??q???3q??Q （17）
d上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.
整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即
???????? q?q?(n?1)q?q?q?? （18）
ct22CC5
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