根据线面角的定义可知因为
,所以
,
,从而求得
, ,故选C.
所以该长方体的体积为
点睛:该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要,此时就需要明确线面角的定义,从而得到量之间的关系,从而求得结果. 12.已知抛物线
,圆
,过点作直线,自上而下顺次与上述两曲线交于点的值正确的是 ( )
(如图所示),则
A. 等于 B. 最小值是 C. 等于 D. 最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】
当直线斜率不存在时,直线方程为由此求得
,代入抛物线和圆的方程,求得A,B,C,D四个点的坐标,
的值.当直线斜率存在时,设出直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,
的表达式,由此求得
的取值范围,进而得
利用抛物线的定义和圆的半径求得
出正确选项.
【详解】当直线斜率不存在时,直线方程为纵坐标分别为
,故
,代入抛物线方程和圆的方程,求得
的
.当直线的斜率不存在时,设直线的方程为
,
.根据抛物线的定义以及
.故选C.
,代入抛物线方程并化简得
圆的半径可知
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的几何性质以及圆的性质,考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在,所以首先要对直线斜率分成斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时,要重点考虑.
二.填空题。
13.命题“ 【答案】【解析】 【分析】
根据特称命题的否定是全称命题,写出原命题的否定. 【详解】原命题是特称命题,故其否定是全称命题,为“
”
,
”的否定是_____.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题,考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题. 14.若双曲线【答案】2 【解析】
,
.渐近线方程是
.
的离心率为,则实数
__________.
15.若直线【答案】 【解析】
过点(1,2),则2a+b的最小值为______.
,当且仅当 时取等号.
点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足
基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
16.已知直线【答案】2019 【解析】 【分析】
将切点代入曲线方程求得,将切点代入直线方程,将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数,求得切线的斜率,由此列方程组,解方程组求得【详解】将点坐标代入曲线方程得数的导数为
.依题意得
,解得
的值.
,曲线方程为,
.
,对应函
与曲线
相切于点
,则的值为____.
【点睛】本小题主要考查函数导数与切线方程,考查待定系数法求曲线的解析式,属于中档题.
三.解答题。
17.已知
是公差不为零的等差数列,
的通项;
的前n项和. (2)
成等比数列.
(1)求数列(2)求数列【答案】(1)【解析】
分析:(1)由题设知公差出即可得出. (2)
详解: (1)由题设知公差
由
,
,由 成等比数列,可得,解
,利用“裂项求和”即可求得.
成等比数列得,
解得d=1,d=0(舍去), 故
的通项
.
(2) ,
.
点睛:本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求C; (2)若
,求c.
【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理化简已知条件,求得值.
【详解】由正弦定理得
,由于在三角形中
.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形,属于基础题.
19.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,求M点的坐标及切线方程. 【答案】(1)1(2)【解析】 【分析】 (1)设出直线程,求得直线
的方程,代入抛物线方程,化简后写出韦达定理,利用的斜率.(2)令导数等于直线
横坐标和为列方
,故
,即
,即
.(2)由余弦定理得
的值,由此求得的大小.(2)利用余弦定理求得的
的斜率,解方程求得切点的横坐标,进而求得
切点坐标以及切线方程.
【详解】(1)由于直线和开口向上的抛物线相交于两点,故直线
的斜率存在,设直线方程为
,代入抛物线方程并整理得
.(1)依题意点斜式得
,即
,所以
,故切点坐标为
,即直线斜率为
,代入抛物线方程求得.
,且斜率为,由
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程,属于中档题.
20.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边
,连接A1B,A1C,A1D.
(1)求长方体ABCD-A1B1C1D1体积的最大值 ;
(2)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的大小. 【答案】(1)1;(2) 【解析】 【分析】
(1)用表示出长方体ABCD-A1B1C1D1体积为:大值即可。 (2)由(1)得
时,长方体ABCD-A1B1C1D1体积最大,此时该几何体为正方体,过点作
就是二面角B-A1C-D的一个平面角,解三角形
,
,当
时,
即可。 ,所以长方
垂
,
,求该二次函数类型函数的最
直A1C于点E,连接ED,则
【详解】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1体积为:体ABCD-A1B1C1D1体积的最大值为1. (2)由(1)得
时,长方体ABCD-A1B1C1D1体积最大,此时该几何体为正方体,过点作垂
直A1C于点E,连接ED,
由正方体可得:,所以就是二面角B-A1C-D的一个平面角,