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内蒙古集宁一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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根据线面角的定义可知因为

,所以

,从而求得

, ,故选C.

所以该长方体的体积为

点睛:该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要,此时就需要明确线面角的定义,从而得到量之间的关系,从而求得结果. 12.已知抛物线

,圆

,过点作直线,自上而下顺次与上述两曲线交于点的值正确的是 ( )

(如图所示),则

A. 等于 B. 最小值是 C. 等于 D. 最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】

当直线斜率不存在时,直线方程为由此求得

,代入抛物线和圆的方程,求得A,B,C,D四个点的坐标,

的值.当直线斜率存在时,设出直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,

的表达式,由此求得

的取值范围,进而得

利用抛物线的定义和圆的半径求得

出正确选项.

【详解】当直线斜率不存在时,直线方程为纵坐标分别为

,故

,代入抛物线方程和圆的方程,求得

.当直线的斜率不存在时,设直线的方程为

.根据抛物线的定义以及

.故选C.

,代入抛物线方程并化简得

圆的半径可知

【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的几何性质以及圆的性质,考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在,所以首先要对直线斜率分成斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时,要重点考虑.

二.填空题。

13.命题“ 【答案】【解析】 【分析】

根据特称命题的否定是全称命题,写出原命题的否定. 【详解】原命题是特称命题,故其否定是全称命题,为“

,

”的否定是_____.

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题,考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题. 14.若双曲线【答案】2 【解析】

.渐近线方程是

.

的离心率为,则实数

__________.

15.若直线【答案】 【解析】

过点(1,2),则2a+b的最小值为______.

,当且仅当 时取等号.

点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足

基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.

16.已知直线【答案】2019 【解析】 【分析】

将切点代入曲线方程求得,将切点代入直线方程,将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数,求得切线的斜率,由此列方程组,解方程组求得【详解】将点坐标代入曲线方程得数的导数为

.依题意得

,解得

的值.

,曲线方程为,

.

,对应函

与曲线

相切于点

,则的值为____.

【点睛】本小题主要考查函数导数与切线方程,考查待定系数法求曲线的解析式,属于中档题.

三.解答题。

17.已知

是公差不为零的等差数列,

的通项;

的前n项和. (2)

成等比数列.

(1)求数列(2)求数列【答案】(1)【解析】

分析:(1)由题设知公差出即可得出. (2)

详解: (1)由题设知公差

,由 成等比数列,可得,解

,利用“裂项求和”即可求得.

成等比数列得,

解得d=1,d=0(舍去), 故

的通项

.

(2) ,

.

点睛:本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.

的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(1)求C; (2)若

,求c.

【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简已知条件,求得值.

【详解】由正弦定理得

,由于在三角形中

.

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形,属于基础题.

19.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率;

(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,求M点的坐标及切线方程. 【答案】(1)1(2)【解析】 【分析】 (1)设出直线程,求得直线

的方程,代入抛物线方程,化简后写出韦达定理,利用的斜率.(2)令导数等于直线

横坐标和为列方

,故

,即

,即

.(2)由余弦定理得

的值,由此求得的大小.(2)利用余弦定理求得的

的斜率,解方程求得切点的横坐标,进而求得

切点坐标以及切线方程.

【详解】(1)由于直线和开口向上的抛物线相交于两点,故直线

的斜率存在,设直线方程为

,代入抛物线方程并整理得

.(1)依题意点斜式得

,即

,所以

,故切点坐标为

,即直线斜率为

,代入抛物线方程求得.

,且斜率为,由

【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程,属于中档题.

20.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边

,连接A1B,A1C,A1D.

(1)求长方体ABCD-A1B1C1D1体积的最大值 ;

(2)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的大小. 【答案】(1)1;(2) 【解析】 【分析】

(1)用表示出长方体ABCD-A1B1C1D1体积为:大值即可。 (2)由(1)得

时,长方体ABCD-A1B1C1D1体积最大,此时该几何体为正方体,过点作

就是二面角B-A1C-D的一个平面角,解三角形

,当

时,

即可。 ,所以长方

,求该二次函数类型函数的最

直A1C于点E,连接ED,则

【详解】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1体积为:体ABCD-A1B1C1D1体积的最大值为1. (2)由(1)得

时,长方体ABCD-A1B1C1D1体积最大,此时该几何体为正方体,过点作垂

直A1C于点E,连接ED,

由正方体可得:,所以就是二面角B-A1C-D的一个平面角,

内蒙古集宁一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

根据线面角的定义可知因为,所以,,从而求得,,故选C.所以该长方体的体积为点睛:该题考查的是长方体的体积的求解问题,在解题的过程中,需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积,而题中的条件只有两个值,所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要,此时就需要明确线面角的定义
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