（1）求这个二次函数的解析式； （2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出HO=，CH=，进而得出BO的长即可得出答案； （3）利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出EF的长即可得出答案． 解答： 解：（1）将A（4，0），代入y=﹣x+bx得： 0=﹣16+4b， 解得：b=4， 故y=﹣x+4x；
（2）∵y=﹣x+4x=﹣（x﹣2）+4， ∴D（2，4），则FO=2， ∵BO∥HC∥EF， ∴
=
=3，
2
2
2
2
∴HO=，CH=， 由
=
得，BO=2，则B（0，2）；
（3）连接EH，DH，
当△DHE是等腰三角形，DH为底，则HE=DE， 设OH=a，CH=﹣a+4a 由
=
，即
=
，
2
得：EF=2a，
故DE=HE=4﹣2a，
由EH=EF+FH得，（4﹣2a）=（2a）+（2﹣a）， 解得：a=4﹣6（负数舍去），
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2
2
2
2
2
2
故E（2，8﹣12）．
点评： 此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应
用勾股定理以及数形结合求出是解题关键．
25．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=
，
点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，重足为H． （1）求证：∠BCD=∠BDC； （2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长； （3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，
求DP的长．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函数即可求解；
（2）设DP=x，当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，据此即可列方程求得；
（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等求解． 解答： 解：（1）作DQ⊥BC， ∵BQ=AD=3，DQ=AB=4， ∴CD=
=2
，CQ=2，
∴BC=5=BD， ∴∠BCD=∠BDC；
（2）设DP=x，则DH=
x，PH=
x，BP=5﹣x．
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当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP， 即
x=
x+5﹣x，
；
解得：x=
（3）作PM∥BE．
则PM=DP=x，DH=HM=由
=
=1，CF=FM=
x， ﹣
x， ，
当△ADH∽△FCE时，
即=，
解得：x=﹣10（舍去）． 当△ADH∽△ECF时，
=
，
即=，
解得：x=∴DP的长是
． ．
点评： 本题考查了三角函数以及相似三角形的判定与性质和圆外切的性质，正确分成△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，求得x的值是关键．
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上海市松江区2015年中考数学二模试卷（答案解析版）
