this course will help you gain the ideas, knowledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.第一部分 专题八 第一讲 坐标系与参数方程
A组
3
?x=3-t,?2
1.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?
1y=t.??2
(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系中,曲线C的方程为ρ=2acosθ(a>0),l与C相切于点P.
(1)求C的直角坐标方程; (2)求切点P的极坐标.
[解析] (1)l表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线,曲线C表示以C′(a,0)为圆心,
a为半径的圆.
1
∵l与C相切,∴a=(3-a),?a=1.
2
于是曲线C的方程为ρ=2cosθ,∴ρ=2ρcosθ, 于是x+y=2x,
故所求C的直角坐标方程为x+y-2x=0. (2)∵∠POC′=∠OPC′=30°,∴OP=3. ∴切点P的极坐标为(3,
π
). 6
2
2
2
2
2
π??2
2.已知圆C的极坐标方程为ρ+22ρsin?θ-?-4=0,求圆C的半径.
4??[解析] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ+22ρ?
2
2
2?2?
sinθ-cosθ?-4=0,
2?2?
化简,得ρ+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0. 则圆C的直角坐标方程为x+y-2x+2y-4=0, 即(x-1)+(y+1)=6,所以圆C的半径为6. 3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C方程为?
?x=5cosφ,?
??y=3sinφ,
2
2
2
2
(φ为参数).
(1)求过椭圆的右焦点,且与直线m:?
?x=4-2t,?
??y=3-t,
(t为参数)平行的直线l的普通方
1
this course will help you gain the ideas, knowledge and skills you need to write fundraising copy that produces more impressive and profitable results.程.
(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.
[分析] (1)由直线l与直线m平行可得l的斜率,将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程.
(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解.
[解析] (1)由C的参数方程可知,a=5,b=3,∴c=4,∴右焦点F2(4,0),将直线m1
的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0,所以k=,于是所求直线方程为x-2y-4=0.
2
(2)由椭圆的对称性,取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π
60sinφcosφ=30sin2φ,∴当2φ=时,Smax=30,
2
即矩形面积的最大值为30.
4.(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴π
建立极坐标系,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ,ρcos(θ-)=2.
4
(1)求C1和C2交点的极坐标;
π
),则S=4|xy|=2
??x=-
(2)直线l的参数方程为:?
1y=t??2
3+
3
t,2
(t为参数),直线l与x轴的交点
为P,且与C1交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
π
[解析] (1)C1,C2极坐标方程分别为ρ=2sinθ,ρcos(θ-)=2,
4化为直角坐标方程分别为x+(y-1)=1,x+y-2=0. 得交点坐标为(0,2),(1,1).
ππ
即C1和C2交点的极坐标分别为(2,),(2,).
24
2
2
??x=-(2)把直线l的参数方程:?1
??y=2t得(-3+2
3+
3
t,2
(t为参数),代入x+(y-1)=1,
22
321
t)+(t-1)2=1, 22
即t-4t+3=0,t1+t2=4,t1t2=3, 所以|PA|+|PB|=4.
2
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1.(2017·全国卷Ⅲ,22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为?
??x=2+t,??y=kt
(tx=-2+m,??
为参数),直线l2的参数方程为?my=??k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
[解析] (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 1
消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
ky=kx-??
设P(x,y),由题设得?1
y=x+??k消去k得x-y=4(y≠0),
2
2
,,
所以C的普通方程为x-y=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=4(0<θ<2π,θ≠π),
2
2
2
22
?ρ
联立?
?ρ
22
θ-sinθ
2
=4,
θ+sinθ-2=0
得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ). 19122
故tanθ=-,从而cosθ=,sinθ=.
31010代入ρ(cosθ-sinθ)=4得ρ=5, 所以交点M的极径为5. 2.在平面直角坐示系xOy??x=acosθ
?
?y=3sinθ?
??x=t+1
中,已知曲线C1:?
?y=1-2t?
2
2
2
2
(t为参数)与曲线C2:
(θ为参数,a>0).
(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上,求a的值;
(2)当a=3时,曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求A,B两点的距离.
??x=t+1
[解析] (1)曲线C1:?
?y=1-2t?
的普通方程为y=3-2x.
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2019届高考数学大二轮复习第1部分专题8选考系列第1讲坐标系与参数方程练习
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