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课时达标检测(三十四）空间几何体的表面积与体积
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列结论中错误的序号有________． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
解析：①错误，如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；②错误，如图(2)，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；③错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．④显然正确．
答案：①②③
2．(2018·南通中学高三月考)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1 的中点，则三棱锥M-AB1C的体积是________．
解析：因为VM-AB1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1M－VB1-ABC－VC-B1C1M，所以
VM-AB1C＝2×
23＝.
3
3113131132222×2－×2×××2－×2××2－×2×××2432434324
23
答案：
3
2π
3．已知某圆锥体的底面半径r＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为
3的扇形，则该圆锥体的表面积是________．
解析：由已知可得沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2πr＝6π，从而6π1
其母线长为l＝＝9，所以圆锥体的表面积为S侧＋S底＝×9×6π＋9π＝36π.
2π23
1
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答案：36π
4.(2018·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．
解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝2m，则AD＝m.设内切球的球心为
O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP -ABCD＝VO -ABCD＋VO -PAD＋VO -PAB＋VO -PBC＋VO -PCD，即·m2·m＝·m2×R＋×·m2·R＋×·2m2·R＋×·2m2·R＋
11112
··m·R，解得R＝(2－2)m，所以此球的最大半径是(2－2)m. 3222
1
答案：(2－2)m
2
5．(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．
解析：
13
13
13
12
13
12
13
12
如图，由题意可得圆柱的侧面积为S1＝2πrh＝2πr.圆锥的母线l＝h＋r＝2r，1S222
故圆锥的侧面积为S2＝×2πr×l＝2πr，所以＝.
2S12
答案：
2
2
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的1a23πa222
表面积S表＝πr＋π(2r)＝a，∴r＝，∴2r＝.
23π3π
23πa答案： 3π
2．(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是________． 2
2
2
2
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解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为1
两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V＝2×
316π2
π×2×2＝.
3
16π答案： 3
3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝4π34π222
1＋1＋?2?＝2，解得R＝1，所以V＝R＝.
334π
答案： 3
4．已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为________． 解析：如图所示，过顶点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连结DO并延长交BC于E，又正四面体的棱长为2，所以DE＝626
，OD＝DE＝，所以在直角三角形AOD中，AO＝AD2－OD2233
232
＝.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连结PD，则在直角三角形POD中，PD＝
3
PO2＋OD2，即R2＝?
答案：3π
3?23?2?6?22
－R?＋??，解得R＝，所以外接球的表面积S＝4πR＝3π.
2?3??3?
5．(2018·无锡期中)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶1222
2，所以OH＝R，又由题意得πr＝π，则r＝1.由勾股定理得，R＝r＋
3
??OH2，故R2＝1＋?R?2，即R2＝.由球的表面积公式得，S＝4πR2＝
9π
答案： 2
1?3?
989π. 2
6．(2018·苏州十中月考)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝3.若点M是
BC的中点，则三棱锥M-PAD的体积为________．
3
江苏专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十四空间几何体的表面积与体积20180
