2012年各地中考数学压轴题精选41~50_解析版
【41.2012长沙】
26．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2． 试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
解答： 解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n）， 设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有： （0＜m＜n），解得， ∴所求直线的解析式为：y=x． （2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称． ∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）． 如解答图1，连接O1Q． ∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到： O1Q== 又O1Q为小圆半径，即QO1=m， ∴=m，化简得：m2﹣10m+17=0 ① 如解答图1，连接O2Q，同理可得：n2﹣10n+17=0 ② 由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根， 解③得：x=5±，∵0＜m＜n，∴m=5﹣，n=5+． ∵O1（m，m），O2（n，n）， ∴d=O1O2==8． （3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0． 如解答图2，连接PQ． 由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2． ∵P（4，1），Q（1，4）， ∴PQ=∴S1=PQ?O1O2=××8==； ； ，又O1O2=8， 又S2=（O2R+O1M）?MR=（n+m）（n﹣m）=∴==1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1． ∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a， 令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0， 设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=， ∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1， ∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1， 即（解得a=）2﹣4（）=1，化简得：8a2﹣10a+1=0， ，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾， ∴不存在这样的抛物线．
【42. 2012六盘水】
25．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。 专题：代数几何综合题；压轴题。 分析：（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（2）如解答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；
（3）要点是利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算． 解答：解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． （1）BP=2t，则AP=10﹣2t． ∵PQ∥BC，∴∴当t=
，即
，解得t=
，
s时，PQ∥BC．
（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC，∴
，即
，解得PD=6﹣t．
，
S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+∴当t=s时，S取得最大值，最大值为
cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12． 由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t， ∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴
，即
，
解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t， ∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣
t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2， 即（8﹣
t）2+（6﹣t）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0， 解得：t1=5，t2=
，
．
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣t2+6t）=2×[﹣×（）2+6×
]=
cm2． cm2．
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为
点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．
【43. 2012攀枝花】
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
各地中考数学压轴题精选41~
